7.3空间点、直线、平面间的位置关系一、选择题1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件答案：A2．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是()A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC答案：C3．ABCD为空间四边形，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD，M、N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与()A．AC、BD之一垂直B．AC、BD都垂直C．AC、BD都不垂直D．AC、BD不一定垂直解析：∵AD＝BC，AB＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CDB.则AN＝CN，在等腰△ANC中，由M为AC的中点知MN⊥AC.同理可证MN⊥BD.答案：B4．如图，已知E、F分别为正四面体ABCD所在棱的中点，则异面直线AC与EF所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：如图，取BC中点G，连结EG，FG，则∠GEF为异面直线AC与EF所成角，∵EG=AC=BD=GF，又可证AC⊥BD，∴∠EGF=90°，则∠GEF=45°.答案：B二、填空题5．如图，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，且PA＝AC＝BC＝a，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于________．答案：6．如上图，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有____对．解析：原来的正方体应为下图．其中AB与CD、AB与GH、EF和GH三对异面直线．答案：37．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为______．解析：如图，取AB的中点E，连B1E，则AM∥B1E，取EB的中点F连FN，则B1E∥FN，因此AM∥FN，连CF，则直线FN与CN所夹锐角或直角为异面直线AM与CN所成的角．设AB＝1，在△CFN中，CN＝，FN＝，CF＝.由余弦定理cos∠CNF＝＝.答案：三、解答题8．如上图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1、H、O三点共线．证明：如图，连结BD、B1D1，则BD∩AC＝O，∵BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D为平面图形且为平行四边形，又H∈B1D，B1D⊂平面BB1D1D，则H∈平面BB1D1D，又∵H∈平面ACD1，且平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.即D1、H、O三点共线．9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，求AE、BF所成角的余弦值．解答：如图，取DD1中点M，连结AM、MF、ME，由AB綊CD綊MF知四边形ABFM为平行四边形，∴AM∥BF，则AM与AE所夹锐角或直角为异面直线AE，BF所成的角，设AB＝1，则在△AEM中AE＝AM＝，ME＝，∴cos∠MAE＝＝，即异面直线AE、BF成角的余弦值为.10．如上图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．(1)求证AC⊥BC1；(2)求证AC1∥平面CDB1；(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．解答：(1)证明：在直棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，则CC1⊥AC，∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，又BC∩C1C＝C，则AC⊥平面BCC1B1，又BC1⊂平面BCC1B1，∴AC⊥BC1.(2)证明：如图，设BC1∩B1C=E，连结DE，E为BC1中点，又∵D为AB的中点．∴AC1∥DE，AC1⊄平面CDB1，DE⊂平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.(3)∠DEC或其补角为异面直线AC1与B1C所成的角，在Rt△ACB中，CD=AB=，DE=AC1=，CE=CB1=2，在△CED中，cos∠DEC=，即异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为()A．60°B．90°C．105°D．75°解析：解法一：如上图，取BC的中点D，连结AD，B1D，由正三棱柱ABC-A1B1C1知AD⊥平面BB1C1C，∴AD⊥BC1，又知△BB1C1∽△DBB1，∴∠B1C1B=∠BB1D，因此B1D⊥BC1，∴BC1⊥平面ADB1，则BC1⊥AB1.解法二：如上图，取AB、BB1、B1C1、BC的中点D、E、F、G，连结DE、EF、DF、FG、DG，设AB＝1可求出DG＝，GF＝，可证明FG⊥平面ABC，在Rt△DGF中DF2＝DG2＋GF2＝，又可求出DE＝AB1＝，EF＝BC1＝，在△DEF中DF2＝DE2＋EF2，∴∠DEF＝90°即AB1⊥C1B.解析:答案：B2．如图在正四面体D－ABC中，P∈面DBA，则在平面DAB内过点P与直线BC成60°角的直线共有()A．0条B．1条C．2条D．3条解析：过B分别作BD，AB的平行线即可．答案：C
