7-7空间向量的坐标运算一、选择题1．已知▱ABCD，且A(4,1,3)、B(2，－5,1)、C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为()A．(，4，－1)B．(2,3,1)C．(－3,1,5)D．(5,13，－3)解析：，设＝(x，y，z)，则(7,8，－2)＝(x＋2，y－5，z＋1)，∴x＝5，y＝13，z＝－3，即＝(5,13，－3)．答案：D2．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,3,1)、B(4,1，－2)、C(6,3,7)，则△ABC的重心坐标为()A．(6，，3)B．(4，，2)C．(8，，4)D．(2，，1)解析：△ABC的重心坐标为x＝＝4，y＝＝，z＝＝2.答案：B3．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，cos〈a，b〉＝，则λ等于()A．2B．－2C．－2或D．2或－解析：|a|＝，|b|＝3，a·b＝6－λ，根据已知条件＝，解得λ＝－2，或λ＝.答案：C4．已知两空间向量a＝(2，cosθ，sinθ)，b＝(sinθ，2，cosθ)，则a＋b与a－b的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，∴〈a＋b，a－b〉＝90°.答案：D二、填空题5．与A(－1,2,3)、B(0,0,5)两点距离相等的点满足的等式为________．解析：设到A、B两点距离相等的点为P(x，y，z)，由|PA|＝|PB|，即(x＋1)2＋(y－2)2＋(z－3)2＝x2＋y2＋(z－5)2，整理得：2x－4y＋4z－11＝0.答案：2x－4y＋4z－11＝06．已知向量a＝(－1,2,3)，b＝(1,1,1)，则向量a在向量b方向上的投影为________．解析：b·a＝(1,1,1)·(－1,2,3)＝，则a在向量b上的投影为.答案：7．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为________．解析：|a|＝＝3，|b|＝＝3，a·b＝2×2＋(－1)×2＋2×1＝4，∴cos〈a，b〉＝＝，sin〈a，b〉＝，S平行四边形＝|a||b|sin〈a，b〉＝.答案：三、解答题8．如右图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．(1)求直线AC与PB所成角的余弦值；(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．解答：(1)如右图，建立直角坐标系A－xyz，则P(0,0,2)，B(，0,0)，C(，1,0)∴＝(，1,0)，＝(，0，－2)，cos〈〉＝＝，则直线AC与PB所成角的余弦值为.(2)设N(x,0，z)又E(0，，1)，∴＝(x，－，z－1)．由＝0，得2(z－1)＝0，由＝0，得x－＝0，解得：x＝，z＝1，因此N点到AB和AP的距离分别为1，.9．如右图，点P，E，F在矩形ABCD所在平面外，PC⊥平面ABCD于C，EB⊥平面ABCD于B，FD⊥平面ABCD于D，AB＝4，BC＝2，PC＝6，BE＝DF且四边形AEPF是平行四边形．(1)建立适当坐标系，求点E、F的坐标；(2)求平面AEPF与平面PEBC所成的二面角(锐角)的大小．解答：如右图，建立空间直角坐标系．(1)P(0,0,6)，A(4,2,0)，设BE＝DF＝m，则E(0,2，m)，F(4，0，m)，∴＝(0,0,6)－(0,2，m)＝(0，－2,6－m)，＝(4,0，m)－(4,2,0)＝(0，－2，m)， 四边形AEPF是平行四边形，∴，∴6－m＝m，即m＝3，∴E(0,2,3)，F(4,0,3)．(2) ＝(0，－2,3)，＝(0,2,3)－(4,2,0)＝(－4,0,3)，设平面AEPF的法向量n1＝(x，y，z)， n1⊥，∴(x，y，z)·(0，－2,3)＝0即－2y＋3z＝0， n1⊥，∴(x，y，z)·(－4,0,3)＝0即－4x＋3z＝0.令z＝4得y＝6，x＝3，∴n1＝(3,6,4)，显然平面PEBC的法向量n2＝(1,0,0)． n1·n2＝(3,6,4)·(1,0,0)＝3，|n1|＝＝，|n2|＝1，∴cos〈n1，n2〉＝＝＝，∴平面AEPF与平面PEBC所成的二面角(锐角)的大小是arccos.10．如右图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝2，AA1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为A1B1的中点．(1)求异面直线AE与BF所成的角；(2)求平面BDF与平面AA1B所成二面角(锐角)的大小；(3)求点A到平面BDF的距离．解答：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系如右图．由已知AB＝2，AA1＝1，可得A(0,0,0)、B(2,0,0)、F(1,0,1)．又AD⊥平面AA1B1B，从而BD与平面AA1B1B所成的角即为∠DBA＝30°，又AB＝2，AE⊥BD，AE＝1，AD＝，从而易得E(，，0)，D(0，，0)．(1) ＝(，，0)，＝(－1,0,1)．＝＝－.即异面直线AE、BF所成的角为arccos.(2)易知平面AA1B的一个法向量m＝(0,1,0)，设n＝(x，y，z)是平面BDF的一个法向量．＝(－2，，0)．由⇒⇒取n＝(1，...
