【创新设计】-学年高中数学2-6平面向量数量积的坐标表示活页训练北师大版必修4双基达标限时20分钟1．若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且3a·b＝4，则x等于()．A．3B.C．－D．－3解析3a·b＝3(2x－6x)＝－12x＝4，∴x＝－.答案C2．平面上有三个点A(2,2)，M(1,3)，N(7，k)，若∠MAN＝90°，则k的值为()．A．6B．7C．8D．9解析因为AM＝(－1,1)，AN＝(5，k－2)，AM·AN＝0，所以－5＋(k－2)＝0，即k＝7.答案B3．已知向量a＝(1，－1)，b＝(1,2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，则c＝()．A．(2,1)B．(1,0)C.D．(0，－1)解析设c＝(x，y)，则c＋b＝(x＋1，y＋2)，c－a＝(x－1，y＋1)，∴解得x＝2，y＝1.∴c＝(2,1)．答案A4．与向量a＝，b＝的夹角相等，且模为1的向量是________．解析设满足题意的向量为e＝(x，y)，则联立可求．答案或5．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b＝________.解析法一设b＝(x，y)，∵|b|＝＝1，∴x2＋y2＝1.∵a·b＝x＋y＝，∴x2＋[(1－x)]2＝1.∴4x2－6x＋2＝0，∴2x2－3x＋1＝0，∴x1＝1，x2＝.∴y1＝0，y2＝.∵(1,0)是与x轴平行的向量，∴b＝.法二设b＝(cosα，sinα)，α∈(0,2π)．∵a·b＝cosα＋sinα＝，∴2sin＝，∴sin＝，∵0＜α＜2π∴＜α＋＜2π＋，∴α＋＝，∴α＝－＝.∴b＝＝.答案.6．已知a＝，OA＝a－b，OB＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b.解法一设向量b＝(x，y)，则OA＝a－b＝，OB＝a＋b＝.由题意可知，OA·OB＝0，|OA|＝|OB|，从而有：解之得或所以b＝或b＝.法二设向量b＝(x，y)，依题意，OA·OB＝0，|OA|＝|OB|，则(a－b)·(a＋b)＝0，|a－b|＝|a＋b|，所以|a|＝|b|，a·b＝0，所以向量b是与向量a长度相同且相互垂直的向量，即有解得或所以b＝或b＝.综合提高限时25分钟7．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，则x＋y的值为()．A．0B．2C．4D．－4解析∵a∥b，∴x＝4，∴b＝(4，－2)，∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)．∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0，即6－3(－2－y)＝0，∴y＝－4，∴x＋y＝0.答案A8．已知非零向量AB和AC满足·BC＝0，且·＝，则△ABC为()．A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形解析由·BC＝0⇒∠BAC的角平分线与BC垂直，∴△ABC为等腰三角形，∵·＝，∴∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形．答案D9．设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1,1)，则cosθ＝________.解析设b＝(x，y),则2b－a＝(2x,2y)－(3,3)＝(2x－3,2y－3)＝(－1,1)，∴2x－3＝－1,2y－3＝1，得x＝1，y＝2，∴b＝(1,2)，则cosθ＝＝＝＝＝.答案10．已知2a＋b＝(－4,3)，a－2b＝(3,4)，则a·b的值为________．解析由已知可得，4a＋2b＝(－8,6)．∴(4a＋2b)＋(a－2b)＝(－8,6)＋(3,4)＝(－5,10)．即5a＝(－5,10)，∴a＝(－1,2)从而b＝(2a＋b)－2a＝(－4,3)－(－2,4)＝(－2，－1)．∴a·b＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0.答案011．已知a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，求实数t的值．解：由已知a＋tb＝(4，－3)＋t(2,1)＝(2t＋4，t－3)．∴(a＋tb)·b＝2(2t＋4)＋(t－3)＝5t＋5.|a＋tb|＝＝，又|b|＝＝.∵(a＋tb)·b＝|a＋tb||b|cos45°，∴5t＋5＝××.即(t＋1)＝.两边平方整理，得t2＋2t－3＝0.解得t＝1或t＝－3.经检验t＝－3是增根，舍去，故t＝1.12．(创新拓展)已知△ABC中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，BC边上的高为AD.(1)求证：AB⊥AC；(2)求点D和向量AD的坐标；(3)设∠ABC＝θ，求cosθ；(4)求证：AD2＝BD·CD.(1)证明AB＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6)，AC＝(2，－1)．∵AB·AC＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，∴AB⊥AC.(2)解设D点的坐标为(x，y)，则AD＝(x－2，y－4)，BC＝(5,5)，∵AD⊥BC，∴AD·BC＝5(x－2)＋5(y－4)＝0，①又BD＝(x＋1，y＋2)，而BD与BC共线，∴5(x＋1)＝5(y＋2)，②联立①②，解得x＝，y＝，故D点坐标为，∴AD＝＝.(3)解cosθ＝＝＝.(4)证明∵AD＝，BD＝，DC＝，∴|AD|2＝，|BD|＝，|DC|＝，∴|AD|2＝|BD|·|DC|，即AD2＝BD·CD.
