3.3两角和与差的三角函数一、选择题1．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形答案：B2．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值为()A．1B．－1C.D．－解析：将已知两式化为sinα＋sinβ＝－sinγ，cosα＋cosβ＝－cosγ.两式平方相加，有cos(α－β)＝－.答案：D3．tan－cot等于()A．4B．－4C．2D．－2解析：原式＝－＝＝＝－2.答案：D4．已知x∈(－，0)，cosx＝，则tan2x等于()A.B．－C.D．－解析：x∈(－，0)，cosx＝，∴sinx＝－，tanx＝＝－.∴tan2x＝＝－.答案：D二、填空题5．coscosπ的值是________．解析：原式＝·2sincoscos＝·2sincosπ＝sinπ＝.答案：6．若sin(－α)＝，sin(＋β)＝，其中0＜α＜，0＜β＜，则cos(α＋β)＝________.解析：由已知可得cos(－α)＝，cos(＋β)＝.则cos(α＋β)＝cos[(＋β)－(－α)]＝cos(＋β)·cos(－α)＋sin(＋β)·sin(－α)＝×＋×＝.答案：7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝________.解析：根据已知条件：cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，cosβ(cosα－sinα)＋sinβ(cosα－sinα)＝0，即(cosβ＋sinβ)(cosα－sinα)＝0.又α、β为锐角，则sinβ＋cosβ＞0，∴cosα－sinα＝0，∴tanα＝1.答案：1三、解答题8．求值：(1)；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)．解答：(1)原式＝＝＝tan15°＝tan(45°－30°)＝2－.(2)令θ＋15°＝α，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－cosα＝(sinα＋cosα)＋(cosα－sinα)－cosα＝0.9．已知α为第二象限角，且sinα＝，求的值．解答：∵α为第二象限角，sinα＝，∴cosα＝－＝－.∴＝＝＝－.10．(1)已知7sinα＝3sin(α＋β)，求证：2tan＝5tan；(2)已知sinβ＝msin(2α＋β)，m≠1，求证：tan(α＋β)＝tanα.证明：(1)将已知化为7sin(－)＝3sin(＋)，即7sincos－7cossin＝3sincos＋3cossin，4sincos＝10cossin，两边同除以2cos·cos，得2tan＝5tan.(2)将已知化为sin[(α＋β)－α]＝msin[(α＋β)＋α]，即sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝msin(α＋β)cosα＋mcos(α＋β)sinα，(1－m)sin(α＋β)cosα＝(1＋m)·cos(α＋β)sinα，∵m≠1，∴tan(α＋β)＝tanα.1．若α，β∈(0，)，cos(α－)＝，sin(－β)＝－，则cos(α＋β)的值等于()A．－B．－C.D.解析：∵0<α<，0<β<，∴－<α－<，－<－β<，又cos(α－)＝，sin(－β)＝－，∴，解得α＝β＝.或α＋β＝0，舍去．cos(α＋β)＝cos＝－.答案：B2．求函数y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的最大值与最小值．解答：y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x＝7－2sin2x＋4cos2x(1－cos2x)＝7－2sin2x＋4cos2xsin2x＝7－2sin2x＋sin22x＝(1－sin2x)2＋6.由于函数z＝(u－1)2＋6在[－1,1]中的最大值为zmax＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为zmin＝(1－1)2＋6＝6.故当sin2x＝－1时，y取得最大值10，当sin2x＝1时，y取得最小值6.
