【创新设计】-学年高中数学3.3.1利用导数研究函数的单调性活页训练湘教版选修1-11．已知f(x)的定义域为[0,1]，且当x∈[0,1]时f′(x)>0，则下列关系式一定成立的是()．A．f(0)<0B．f(1)>0C．f(1)>f(0)D．f(1)0，f(x)在[0,1]上是增函数，∴f(1)>f(0)．答案C2．函数f(x)＝xlnx的单调减区间为()．A.B.C.D.解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，由f′(x)<0得lnx<－1,02时，f′(x)>0，所以f(x)在(0,2)上递减，在(－∞，0)和(2，＋∞)上递增．故选C.答案C4．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________，增区间为________．解析f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x2－10x－11)＝3(x－11)(x＋1)，由f′(x)>0知x>11或x<－1，由f′(x)<0知－12时，f′(x)>0，∴f(x)的增区间为(－1,0)，(2，＋∞)，减区间为(0,2)和(－∞，－1)．答案(0,2)和(－∞，－1)(－1,0)和(2，＋∞)．6．求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x3－x；(2)f(x)＝ex－x＋1.解(1)f′(x)＝3x2－1，由f′(x)>0知x>或x<－.由f′(x)<0知－0知x>0，由f′(x)<0知x<0.所以f(x)的增区间为(0，＋∞)，减区间为(－∞，0)．7．下列各选项中的函数，在定义域上为减函数的是()．A．f(x)＝x3＋xB．f(x)＝C．f(x)＝sinx－xD．f(x)＝－x2x解对于f(x)＝sinx－x，f′(x)＝cosx－1≤0对任意实数x恒成立．∴f(x)在R上单调递减．答案C8．对于R上的可导函数f(x)来说，若(x－1)f′(x)>0，则必有()．A．f(0)＋f(2)<2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1)D．f(0)＋f(2)>2f(1)解析由(x－1)f′(x)>0知，当x>1时，f′(x)>0，当x<1时f′(x)<0，所以f(x)在(1，＋∞)上是增函数，(－∞，1)上是减函数，∴f(0)>f(1)，f(1)2f(1)答案D9．若函数f(x)＝x3－px2＋2m2－m＋1在区间(－2,0)上单调递减，且在区间(－∞，－2)及(0，＋∞)内单调递增，则实数p＝________.解析f′(x)＝3x2－2px，由题意知x＝0和x＝－2是方程3x2－px＝0的两个根，∴p＝－6.答案－610．函数f(x)＝在(0，＋∞)上递增，则a的范围为________．解析f′(x)＝＝≥0在(0，＋∞)上恒成立．a≥－，又x>0时，－<0.∴a≥0.答案[0，＋∞)11．已知函数f(x)＝x2＋＋alnx(x>0)，若f(x)在[1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．解由f(x)＝x2＋＋alnx，得f′(x)＝2x－＋.若函数为[1，＋∞)上的单调增函数，则f′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即不等式2x－＋≥0在[1，＋∞)上恒成立，也即a≥－2x2在[1，＋∞]上恒成立．令φ(x)＝－2x2，上述问题等价于a≥φ(x)max，而φ(x)＝－2x2在[1，＋∞)上单调递减，则φ(x)max＝φ(1)＝0，于是a≥0为所求．12．(创新拓展)设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间．解(1)f′(x)＝3x2－3a，因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，所以⇒⇒(2)因为f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)，当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．当a>0时，由f′(x)＝0⇒x＝±，当x∈(－∞，－)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(－，)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．所以当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，减区间为(－，).
