第3讲三角函数的图像一、选择题1．(·模拟精选)将函数y＝sin的图象向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，则所得图象的函数解析式为()A．y＝sinB．y＝sinC．y＝sin6xD．y＝sin解析：将函数y＝sin的图象向左平移个单位，得到函数y＝sin＝sin的图象，再将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数y＝sin的图象．答案：B2．函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间内的图象是()解析：函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|＝答案：D3．(·辽宁卷)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f＝－，则f(0)＝()A．－B．－C.D.解析：由图象可知所求函数的周期为π，故ω＝3，将代入解析式得π＋φ＝＋2π，所以φ＝－＋2kπ，令φ＝－代入解析式得f(x)＝Acos，又因为f＝－Asin＝－，所以f(0)＝Acos＝Acos＝.答案：C4．(·广东惠州调研)将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y＝sin的图象，则φ等于()A.B.C.D.解析：依题意得y＝sin＝sin＝sin，将y＝sinx的图象向左平移个单位后得到y＝sin，即y＝sin的图象．答案：B二、填空题5．(·宁夏、海南卷)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则f＝________.解析：从图象可知A＝2，T＝π，从而可知T＝＝，ω＝3，得f(x)＝2sin，又由f＝0可取φ＝－，于是f(x)＝2sin，则f＝2sin＝0.答案：06．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象中相邻的两支截直线y＝所得线段长为，则f＝________.解析：∵T＝＝，∴ω＝4.∴f(x)＝tan4x，f＝0.答案：07．(·模拟精选)如图所示函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．解析：数形结合法：f(x)＝由图象知：10，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式．(2)如何由函数y＝2sinx的图象通过适当的变换得到函数f(x)的图象，写出变换过程．解：(1)由图象知A＝2.f(x)的最小正周期T＝4×＝π，故ω＝＝2.将点代入f(x)的解析式得sin＝1，又|φ|<，∴φ＝，故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.(2)变换过程如下：10．(·福建卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)．其中ω>0，|φ|<.(1)若coscosφ－sinsinφ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．解：解法一：(1)由coscosφ－sinsinφ＝0得coscosφ－sinsinφ＝0，即cos＝0.又|φ|<，∴φ＝.(2)由(1)得，f(x)＝sin.依题意，＝.又T＝，故ω＝3，∴f(x)＝sin.函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)＝sin.g(x)是偶函数当且仅当3m＋＝kπ＋(k∈Z)．即m＝＋(k∈Z)，从而，最小正实数m＝.解法二：(1)同解法一．(2)由(1)得，f(x)＝sin.依题意，＝.又T＝，故ω＝3，∴f(x)＝sin.函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)＝sin，g(x)是偶函数当且仅当g(－x)＝g(x)对x∈R恒成立，亦即sin＝sin对x∈R恒成立．∴sin(－3x)cos＋cos(－3x)sin＝sin3xcos＋cos3xsin，即2sin3xcos＝0对x∈R恒成立．∴cos＝0，故3m＋＝kπ＋(k∈Z)，∴m＝＋(k∈Z)，从而，最小正实数m＝.1．(★★★★)有一种波，其波形为函数y＝－sin(x)的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是()A．5B．6C．7D．8解析：如下图，从y=-sin（，x）的图象可以看出，要使该波在[0，t]上至少有2个波峰，则≤t，即·≤t，t≥7，∴正整数t的最小值是7.答案：C2．(·改编题)若f(x)＝asin＋bsin(ab≠0)是偶函数，则有序实数对(a，b)可以是________．(写出你认为正确的一组数即可)解析：f(x)＝a(sinx＋cosx)＋b(sinx－cosx)＝(a＋b)sinx＋(a－b)cosx.∵f(x)＝asin＋bsin(ab≠0)是偶函数，∴a＋b＝0，故有序实数对(a，b)可以取(1，－1)，(2，－2)等．答案：(1，－1)或(2，－2)(答案不唯一)
