第4讲三角函数的性质一、选择题1．函数y＝cos2x在下列哪个区间上是减函数()A.B.C.D.解析：令2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，∴x∈(k∈Z)，当k＝0时，x∈.答案：C2．(·改编题)已知函数y＝sinsin，则下列判断正确的是()A．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是B．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是C．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是D．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是解析：y＝sinsin＝sincos＝sin，所以最小正周期T＝＝π，对称中心是.答案：B3．(·四川卷)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是()A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间上是增函数C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f(x)是奇函数解析：∵y＝sin＝－cosx，但y＝－cosx为偶函数，故选D项．∴T＝2π，在上是增函数，图象关于y轴对称．答案：D4．已知函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(0＜θ＜π)，其图象与直线y＝2的交点的横坐标为x1，x2，若|x1－x2|的最小值为π，则()A．ω＝2，θ＝B．ω＝，θ＝C．ω＝，θ＝D．ω＝2，θ＝解析：y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数且0＜θ＜π，则y＝2cos(ωx)，所以θ＝，y＝2cosωx，y∈[－2,2]．故y＝2与y＝2cosωx的交点为最高点，于是最小正周期为π.即＝π，所以ω＝2，故选A.答案：A二、填空题5．函数f(x)＝1－2sin2x的最小正周期为________．解析：∵f(x)＝1－2sin2x＝cos2x，∴最小正周期为＝π.答案：π6．(·模拟精选)函数f(x)＝sinx－cosx(x∈[－π，0])的单调递增区间是________．解析：先化简f(x)＝2sin，根据f(x)的图象得[－π，0]上的单调递增区间为.答案：7．对于函数f(x)＝，给出下列三个命题：(1)该函数的图象关于x＝2kπ＋(k∈Z)对称(2)当且仅当x＝kπ＋(k∈Z)时，该函数取得最大值1(3)该函数是以π为最小正周期的函数上述命题中正确的是________．解析：由函数f(x)的图象知，在x＝0处，函数也取得最大值，∴(2)错；函数f(x)的最小正周期为2π，∴(3)错；由题意可知，(1)正确．答案：(1)三、解答题8．已知函数f(x)＝－sin2x＋sinxcosx.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在上的值域．解：f(x)＝－sin2x＋sinxcosx＝－×＋sin2x＝sin2x＋cos2x－＝sin－.(1)函数f(x)的最小正周期是T＝＝π.(2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，∴－≤sin≤1，∴f(x)在上的值域为.9．(·江苏苏、锡、常、镇四市调研)已知函数f(x)＝2sinxcos＋cos2x＋sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最大值与最小值；(3)写出函数f(x)的单调递增区间．解：∵f(x)＝2sinxcos＋cos2x＋sin2x＝2sinx＋cos2x＋sin2x＝sinxcosx－sin2x＋cos2x＋sin2x＝sin2x＋cos2x＝2sin，(1)f(x)的最小正周期为T＝＝π.(2)f(x)的最大值为2，最小值为－2.(3)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，∴x∈(k∈Z)，∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．10．(·浙江杭州调研)函数f1(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的一段图象过点(0,1)，如下图所示．(1)求函数f1(x)的解析式；(2)将函数y＝f1(x)的图象向右平移，得到函数y＝f2(x)，求y＝f1(x)＋f2(x)的最大值，并求此时自变量x的集合．解：(1)由题图知：T＝π，于是ω＝2.函数的图象过点(0,1)，.∴，∴φ＝，A＝2.故f1(x)＝2sin.(2)依题意f2(x)＝2sin＝－2cos，故y＝2sin－2cos＝2sin.当2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋，k∈Z时，ymax＝2.此时，x的取值集合为1．(·创新题)定义行列式运算：＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝的图象向左平移m个单位(m>0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是()A.B.C.D.π解析：由题知f(x)＝sinx－cosx＝2＝2sin，其图象向左平移m个单位后变为y＝2sin.若为偶函数，则－＋m＝kπ＋，k∈Z，所以m＝kπ＋，k∈Z，又m>0，故m的最小值为.答案：A2．(·改编题)已知函数f(x)＝Acos2(ωx＋φ)，(A>0，ω>0,0<φ<)的最大值为4，f(x)的图象在y轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为1，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2010)＝________.解析：由题意A＝4,4cos2φ＝2，∴cosφ＝±，∵0<φ<，∴φ＝，∴f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＝A×＝A×，所以其最小正周期为T＝，而相邻两对称轴间的距离为1，即最小正周期为2，∴＝2，∴ω＝，∴f(x)＝4cos2，f(1)＝4cos2＝2，f(2)＝4cos2＝2，因为周期为2，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2010)＝1005×[f(1)＋f(2)]＝4020.答案：4020
