3.5.2简单线性规划1．设x，y满足则z＝x＋y()．A．有最小值2，最大值3B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．无最小值，也无最大值解析不等式组的平面区域为如图的阴影区域．x＋y在点A(2,0)处取最小值为2，无最大值．答案B2．某中学新学期需要购买一批球类体育器材，已知篮球的价格为每只80元，排球的价格为每只60元，现计划该项支出为3000元，若设购买篮球x只，排球y只，则购买球类体育器材的约束条件是()．A．80x＋60y＝3000B．80x＋60y≤3000C．80x＋60y≥3000D．80x＋60y<3000解析由题意可得购买球类体育器材的总金额是购买篮球、排球的函数，即S＝80x＋60y.因为计划该项支出为3000元，所以购买球类体育器材的约束条件是80x＋60y≤3000,故应选B.答案B3．图中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是()．A．(1,4)B．(0,5)C．(5,0)D．(3,0)解析作出可行域如图，当直线z＝6x＋8y过点(0,5)时zmax＝40.答案B4．已知x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值为.解析易知直线z＝2x＋y过A(－，)时，如图，zmin＝2×(－)＋＝－.答案－5．若实数x，y满足则不等式组表示的区域面积为，z＝的取值范围是.解析易知A(3,0)，B(0,1)，∴S△AOB＝，kPA＝1，kPO＝－2，∴z≤－2或z≥1.答案(∞－，－2]∪[1∞，＋)6．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目．由题意知目标函数z＝x＋0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行直线l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x＋0.5y＝0的距离最大，这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．解方程组得x＝4，y＝6.此时z＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值．所以投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．7．若x，y满足约束条件目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是()．A．(－1,2)B．(－4,2)C．(－4,0]D．(－2,4)解析作出可行域如图所示，直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，即－4
1或<－1.答案B9．如下图所示的坐标平面的可行域内(包括阴影部分且包括边界)，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值等于.解析令z＝0，l0：y＝－ax，当－a＝kAC＝＝－1.即a＝1时，z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个．答案110．已知点P(x，y)的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于，最大值等于.解析画出可行域如图所示，则A(2,2)，B(1,3)，C(1,1)，∴OA＝2，OB＝，OC＝，即|OP|的最大值为，最小值为.答案11．已知x，y满足条件(1)求z＝4x－3y的最值．(2)求u＝x2＋y2的最值．解原不等式组表示的平面区域如图所示．其中A(4,1)、B(－1，－6)、C(－3,2)．(1)作与4x－3y＝0平行的直线l：4x－3y＝t，即y＝x－，则当l过C点时，t最小；当l过B点时，t最大；∴zmax＝4×(－1)－3×(－6)＝14，zmin＝4×(－3)－3×2＝－18.(2)∵＝表示点(x，y)到原点的距离，结合不等式组所表示的区域，知B点到原点距离最大；而当(x，y)在原点时，距离最小为0.∴umax＝(－1)2＋(－6)2＝37，umin＝012．(创新拓展)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则＋的最小值为.解析由图形可知，目标函数在(4,6)处取得最大值12，∴4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，从而有＋＝(＋)(2a＋3b)＝(＋4＋9＋)＝＋(＋)＝＋(＋)≥＋2＝＋2＝当且仅当a＝b时等号成立∴＋的最小值为.答案
