第4讲均值不等式一、选择题1．在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是()A．y＝x＋B．y＝lgx＋C．y＝＋D．y＝x2－2x＋3解析：对于A：y＝x＋≥2＝4(当x＝2时取等号)；对于B：∵x>0，∴lgx∈R，∴y＝lgx＋≥2或y≤－2(当x＝10或x＝时取等号)；对于C：∵y＝＋≥2(当x2＋1＝1，即x＝0时取等号)，而x>0，∴y>2；对于D：y＝(x－1)2＋2≥2(当x＝1时取等号)．答案：D2．已知x<，则函数y＝4x－2＋的最大值是()A．2B．3C．1D.解析：∵x<，∴4x－5<0.∴y＝4x－5＋＋3＝－＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时取等号．答案：C3．(·改编题)若实数a、b满足a＋b＝1，则3a＋3b的最小值是()A．18B．6C．2D．解析：解法一：3a＋3b≥2＝2＝2，当且仅当a＝b＝时取等号，故3a＋3b的最小值是2.解法二：由a＋b＝1，得b＝1－a，∴3a＋3b＝3a＋31－a＝3a＋≥2＝2，当且仅当3a＝，即a＝时等号成立．答案：C4．(·重庆卷)已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是()A．2B．2C．4D．5解析：＋＋2≥2＋2≥4.当且仅当a＝b时取“＝”．答案：C二、填空题5．若a>b>1，P＝，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg，则P，Q，R的大小关系为________．解析：∵a＞b＞1，∴lga＞lgb＞0.∴Q＝(lga＋lgb)＞＝P，R＝lg＞lg＝(lga＋lgb)＝Q，∴R＞Q＞P.答案：R＞Q＞P6．(·山东枣庄一模)若正数a、b满足＋＝2，则ab的最小值为________．解析：∵a>0，b>0，∴＋≥2＝4，即4≤2.∴ab≥4.答案：47．(·广东珠海质检)已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．解析：因为x>a，所以2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2＋2a＝2a＋4，即2a＋4≥7，所以a≥，即a的最小值为.答案：三、解答题8．若x，y∈R＋，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．解：由2x＋8y－xy＝0得2x＋8y＝xy，∵x，y∈R＋，∴＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋＝10＋2≥10＋2×2×＝18.当且仅当＝，即x＝2y时取等号，又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6，∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18.9．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：≥.证明：左边＝＝ab＋＋＋＝2＋＋＋2.∵a>0，b>0，∴＋≥2，∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2.∴≤，≥2，－≥－，∴－≥，∴2≥，所以，左边≥＋2＋2＝，(当且仅当a＝b＝时取等号)．10．(·模拟精选)某厂花费50万元买回一台机器，这台机器投入生产后每天要付维修费，已知第x天应付的维修费为元．机器从投产到报废共付的维修费与购买机器费用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗，当平均损耗达到最小值时，机器应当报废．(1)将每天的平均损耗y(元)表示为投产天数x的函数；(2)求机器使用多少天应当报废？解：(1)机器投产x天，每天的平均损耗是y＝＝＝＋＋499.(2)y＝＋＋499≥2＋499＝500＋499＝999，当且仅当＝，即x＝2000时取等号．所以这台机器使用2000天应当报废．1．(·创新题)有一位同学写了这么一个不等式≥，他发现，当c＝1,2,3时，不等式对一切实数x都成立，由此他作出如下四个猜测：①当c取所有正整数时，不等式对一切实数x都成立；②只存在有限个自然数c，不等式对于一切实数x都成立；③当c≥1时，不等式对一切实数x都成立；④当c>0时，不等式对于一切实数x都成立．则其中判断正确的是()A．①③B．②C．①③④D．④解析：≥可变为＋≥＋，于是只有①③正确，答案选A.答案：A2．(★★★★)若直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)和函数f(x)＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的图象恒过同一个定点，则当＋取最小值时，函数f(x)的解析式是________．解析：函数f(x)＝ax＋1＋1的图象恒过(－1,2)，故a＋b＝1，＋＝＝＋＋≥＋.当且仅当b＝a时取等号，将b＝a代入a＋b＝1得a＝2－2，故f(x)＝(2－2)x＋1＋1.答案：f(x)＝(2－2)x＋1＋1
