7.1空间几何体的结构、三视图和直观图一、选择题1．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④解析：正方体的三视图都是正方形，不合题意；圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，符合题意；三棱台的主视图和左视图、俯视图各不相同，不合题意；正四棱锥的主视图和左视图都是三角形，而俯视图是正方形，符合题意，所以②④正确．答案：D2．利用斜二测画法可以得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形，以上结论正确的是()A．①②B．①C．③④D．①②③④解析：因为斜二测画法规则依据的是平行投影的性质，则①②正确；对于③④，只有平行于x轴的线段长度不变，所以不正确．答案：A3．已知一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何图形的4个顶点，这些几何图形是()①矩形②不是矩形的平行四边形③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体④每个面都是等腰三角形的四面体⑤每个面都是直角三角形的四面体A．①③④⑤B．②③④⑤C．④⑤D．③④⑤解析：由三视图知该几何体是底面为正方形的长方体．由下图可知，①可能，②不可能，③④⑤都有可能．答案：A4．下列物体中的正视图和俯视图(如图)中有错误的一项是()解析：将看不见的部分用虚线标出．答案：D二、填空题5．有一个正三棱柱的三视图如图所示(俯视图为正三角形)，则这个三棱柱的高和底面边长分别为________．解析：由三视图中的数据知高为2，底面边长为2×＝4.答案：246．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________．解析：三视图对应的几何体是一个棱长为2的正方体上面摆放了一个直径为2的球，因此此几何体的体积为V＝V球＋V正方体＝π＋8答案：8＋7．用小正方体搭成一个几何体，右图是它的正(主)视图和侧(左)视图，搭成这个几何体的小正方体最多为________个．解析：画出其几何体图形，可知最多需要7个小正方体．答案：7三、解答题8．正四棱台AC1的高是17cm，两底面的边长分别是4cm和16cm，求这个棱台的侧棱长和斜高．解答：如上图所示，设棱台的两底面的中心分别是O1、O，B1C1和BC的中点分别是E1和E，连接O1O、E1E、O1B1、OB、O1E1、OE，则四边形OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形．∵A1B1＝4cm，AB＝16cm，∴O1E1＝2cm，OE＝8cm，O1B1＝2cm，OB＝8cm，∴B1B2＝O1O2＋(OB－O1B1)2＝361cm2，E1E2＝O1O2＋(OE－O1E1)2＝325cm2，∴B1B＝19cm，E1E＝5cm.答：这个棱台的侧棱长为19cm，斜高为5cm.9．正四棱锥的高为，侧棱长为，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？解答：如下图所示，正棱锥S—ABCD中高OS＝，侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝，在Rt△SOA中，OA＝＝2，∴AC＝4.∴AB＝BC＝CD＝DA＝2.作OE⊥AB于E，则E为AB中点．连接SE，则SE即为斜高，则SO⊥OE.在Rt△SOE中，∵OE＝BC＝，SO＝，∴SE＝，即侧面上的斜高为.10．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．解答：圆台的轴截面如上图所示，设圆台上下底面半径分别为xcm,3xcm.延长AA1交OO1的延长线于S，在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，则∠SAO＝45°，∴SO＝AO＝3x，∴OO1＝2x，又S轴截面＝(6x＋2x)·2x＝392，∴x＝7.故圆台的高OO1＝14cm，母线长l＝O1O＝14cm，两底面半径分别为7cm,21cm.1．找出与下列几何体对应的三视图，在三视图的横线上填上对应的序号．答案：(3)(4)(6)(1)(8)(5)(2)(7)2．如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为(不考虑接触点)()A．6＋＋πB．18＋＋4πC．18＋2＋πD．32＋π解析：该几何体是正三棱柱上叠放一个球．答案：C
