模块检测(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若cosθ>0，且sin2θ<0，则角θ的终边所在的象限是()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析sin2θ＝2sinθcosθ<0，又cosθ>0，∴sinθ<0，∴θ是第四象限角．答案D2．函数y＝sinx的值域是()．A．[－1,1]B.C.D.答案B3．已知|a|＝8，e为单位向量，当它们的夹角为时，a在e方向上的投影为()．A.B．－C．4D．－4解析a在e的方向上的投影为|a|cos＝8×＝－4.答案D4．下列关系式中，不正确的是()．A．sin585°<0B．tan(－675°)>0C．cos(－690°)<0D．sin1010°<0解析585°＝360°＋225°是第三象限角，则sin585°<0；－675°＝－720°＋45°，是第一象限角，∴tan(－675°)>0；1010°＝1080°－70°，是第四象限角，∴sin1010°<0；而－690°＝－720°＋30°是第一象限角，∴cos(－690°)>0.答案C5．函数y＝2sin(3x＋φ)的一条对称轴为x＝，则φ＝()．A.B.C.D．－解析由y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，所以3×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，得φ＝kπ＋(k∈Z)．又|φ|<，所以k＝0，φ＝，故应选C.答案C6．已知D是△ABC的边BC上的一点，且BD＝BC，设AB＝a，AC＝b，则AD等于()．A.(a－b)B.(b－a)C.(2a＋b)D.(2b－a)解析AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b，故选C.答案C7．已知a，b均为单位向量，且它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于()．A.B.C.D.解析本题若直接求|a＋3b|则较为困难，因此解答时可依据公式|a|＝先求(a＋3b)2.因为|a|＝1，|b|＝1，且它们的夹角为60°，故a·b＝cos60°＝，所以(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋3＋9＝13，即|a＋3b|＝，故应选C.答案C8．计算2sin14°·cos31°＋sin17°等于()．A.B．－C.D．－解析原式＝2sin14°cos31°＋sin(31°－14°)＝sin31°cos14°＋cos31°sin14°＝sin45°＝.答案A9．设向量a＝(cos25°，sin25°)，b＝(sin20°，cos20°)，若t是实数，且c＝a＋tb，则|c|的最小值为()．A.B．1C.D.解析c＝a＋tb＝(cos25°，sin25°)＋(tsin20°，tcos20°)＝(cos25°＋tsin20°，sin25°＋tcos20°)，∴|c|＝＝＝＝，∴当t＝－时，|c|最小，最小值为.答案C10．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C的值为()．A.B.C.D.解析∵m·n＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，∴sin(A＋B)－cos(A＋B)＝sinC＋cosC＝2sin＝1.∴sin＝，∴＋C＝π或＋C＝(舍去)，∴C＝π.答案C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)．11．若＝－，则sinα＋cosα＝________.解析原式可化为＝＝－，∴sinα＋cosα＝.答案12．已知向量m＝(sinx，cosx)，p＝(2，1)．若m∥p，则sinx·cosx＝________.解析∵m∥p，∴sinx＝2cosx，tanx＝2，∴sinx·cosx＝＝＝.答案13．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－·b.则向量a与c的夹角为________．解析∵a·c＝a·a－·b·a＝a·a－a·a＝0，∴a⊥c，即a与c的夹角为90°.答案90°14．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan(α＋)的值为________．解析tan(α＋)＝tan＝＝＝.答案三、解答题(本大题共5小题，共54分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(10分)对任意实数x和整数n，已知f(sinx)＝sin[(4n＋1)x]，求f(cosx)．解f(cosx)＝f＝sin＝sin＝sin＝cos[(4n＋1)x]．16．(10分)已知a，b不共线，AB＝2a＋kb，CB＝a＋3b，CD＝2a－b，若A，B，D三点共线，求实数k的值．解∵BD＝BC＋CD＝－CB＋CD＝a－4b，而a与b不共线，∴BD≠0.又∵A，B，D三点共线，∴AB，BD共线．故存在实数λ，使AB＝λBD，即2a＋kb＝λa－4λb.又∵a与b不共线，∴由平面向量基本定理，得⇒k＝－8.17．(10分)已知α为锐角，且sinα＝.(1)求的值；(2)求tan的值．解(1)因α为锐角，且sinα＝，∴cosα＝＝.∴＝＝＝20.(2)∵tanα＝＝，∴tan＝＝＝.18．(12分)设a＝，b＝，若a∥b，求锐角α的值．解∵a＝，b＝，且a∥b，∴×－cosαsinα＝0，即sinαcosα＝.由，得sinα＋cosα＝＝＝，∴sinα、cosα是方程x2－x＋＝0的两根．解得，或又α∈，∴α＝或.19．(12分)已知向量b＝(m，sin2x)，c＝(cos2x，n)，x∈R，f(x)＝b·c，若函数f(x)的图象经过点(0,1)和.(1)求m、n的值；(2)求f(x)的最小正周期，并求f(x)在x∈上的最小值；解(1)f(x)＝mcos2x＋nsin2x，∵f(0)＝1，∴m＝1.∵f＝1，∴n＝1.(2)f(x)＝cos2x＋sin2x＝sin，∴f(x)的最小正周期为π.∵x∈，∴≤2x≤＋.∴当x＝0或x＝时，f(x)的最小值为1.
