1压轴题思维练五1.(2016·甘肃重点中学协作体期末)设F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,F1到直线l的距离为2.(1)求椭圆C的焦距;(2)如果=2,求椭圆C的方程.2.(2016·皖南八校联考)已知函数f(x)=ax2+xlnx.(1)若a=1,求函数f(x)在(e,f(e))处的切线方程;(2)若a=-e,证明:方程2|f(x)|-3x=2lnx无解.压轴题思维练五1.解:(1)设焦距为2c,由已知可得F1到直线l的距离c=2,故c=2.所以椭圆C的焦距为4.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知y1<0,y2>0,直线l的方程为y=(x-2).联立得(3a2+b2)y2+4b2y-3b4=0.解得y1=,y2=.因为=2,所以-y1=2y2,即=2·,2得a=3,而a2-b2=4,所以b=,故椭圆C的方程为+=1.2.(1)解:依题意,f′(x)=2x+lnx+1,故f′(e)=2e+2,f(e)=e2+e,故所求切线方程为y-e2-e=(2e+2)(x-e),即(2e+2)x-y-e2-e=0.(2)证明:依题意,2|ax2+xlnx|-3x=2lnx,即2|ax2+xlnx|=2lnx+3x,即|ax+lnx|=+,令g(x)=ax+lnx(x>0),当a=-e时,g(x)=-ex+lnx,g′(x)=,令g′(x)=0,得x=,令g′(x)>0,得x∈(0,),所以函数g(x)在(0,)上单调递增,令g′(x)<0,得x∈(,+∞),所以函数g(x)在(,+∞)上单调递减.所以,g(x)max=g()=-e·+ln=-2,所以|g(x)|≥2.设h(x)=+,x∈(0,+∞),所以h′(x)=.3令h′(x)>0,得x∈(0,e),所以函数h(x)在(0,e)上单调递增,令h′(x)<0,得x∈(e,+∞),所以函数h(x)在(e,+∞)上单调递减,所以h(x)max=h(e)=+=+<2,即h(x)<2,所以|g(x)|>h(x),即2|f(x)|-3x>2lnx,所以,方程2|f(x)|-3x=2lnx无解.
