小专题(四)活用等腰三角形“三线合一”解题等腰三角形“顶角平分线,底边上的高,底边上的中线”只要知道其中“一线”,就可以说明是其他“两线”.运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等,线段相等或垂直关系,可减少证全等的次数,简化解题过程.类型1利用“三线合一”求角1.如图,房屋顶角∠BAC=100°,过屋顶A的立柱AD⊥BC,屋檐AB=AC.求顶架上的∠B,∠C,∠BAD,∠CAD的度数.解:在△ABC中,∵AB=AC,∴∠B=∠C.∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)=40°.又AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD=×100°=50°.类型2利用“三线合一”求线段2.在等腰△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm,则AD=15cm.3.如图,在△ABC中,AB=AC,AD=DB=BC,DE⊥AB于点E,若CD=4,且△BDC的周长为24,求AE的长.解:∵BD+BC+CD=24,CD=4,∴BD+BC=20,∴AD=BD=BC=10.又∵AB=AC=AD+CD=14,DE⊥AB,∴AE=BE=7.类型3利用“三线合一”证角(线段)相等4.如图,已知点D,E,F在△ABC的BC边上,AB=AC,AD=AE,DF=FE.求证:∠CAE=∠BAD.证明:∵AD=AE,DF=FE,∴∠DAF=∠EAF,AF⊥BC.又∵AB=AC,∴∠BAF=∠CAF,∴∠BAF-∠DAF=∠CAF-∠EAF,即∠CAE=∠BAD.5.如图,已知AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE,DB交AC于点F,且AF平分BD,CE交AD于点G,求证:CG=GE.证明:∵AB=AD,AF平分BD,∴BF=DF.在△BAF和△DAF中,∴△BAF≌△DAF(SSS),∴∠BAF=∠DAF.∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD,∴∠BAC=∠DAE,∴∠CAD=∠EAG.又∵AC=AE,∴CG=GE.类型4利用“三线合一”证垂直6.如图,在△ABC中,D是BC上一点,P是AD上一点,若∠1=∠2,PB=PC.求证:AD⊥BC.证明:作PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N.∵∠1=∠2,∴PM=PN.在Rt△BPM和Rt△CPN中,∴Rt△BPM≌Rt△CPN(HL),∴∠ABP=∠ACP.∵PB=PC,∴∠PBC=∠PCB.∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC.∵∠1=∠2,∴AD⊥BC.类型5利用“三线合一”证线段(或角)的倍数关系(构造三线法)7.已知:如图,△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于点D.求证:∠BAC=2∠DCB.解:过点A作AE⊥BC于点E,∴∠AEB=90°,∴∠BAE+∠B=90°.∵CD⊥AB,∴∠DCB+∠B=90°,∴∠DCB=∠BAE.∵AB=AC,AE⊥BC,∴∠BAC=2∠BAE,∴∠BAC=2∠DCB.8.如图,已知等腰Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BF平分∠ABC,CD⊥BD交BF的延长线于点D.试说明:BF=2CD.解:延长BA,CD交于点E.∵BF平分∠ABC,CD⊥BD,BD=BD,∴△BDC≌△BDE,∴BC=BE.又∵BD⊥CE,∴CE=2CD.∵∠BAC=90°,∠BDC=90°,∠AFB=∠DFC,∴∠ABF=∠DCF.又∵AB=AC,∠BAF=∠CAE=90°,∴△ABF≌△ACE,∴BF=CE.∴BF=2CD.类型6利用“三线合一”证线段的和差关系(构造三线法)9.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,且∠ABC=2∠C.试说明:CD=AB+BD.解:在线段DC上取一点E,使DE=BD,连接AE.∵AD⊥BC,∴AB=AE,∴∠ABC=∠AEB.又∵∠ABC=2∠C,∴∠AEB=2∠C.而∠AEB=∠CAE+∠C,∴∠CAE=∠C.∴CE=AE=AB,∴CD=CE+DE=AB+BD.
