描述系统位形的坐标阵图8-1笛卡尔坐标描述刚体系位形对于如图8-1所示N个刚体作平面运动的刚体系，首先在系统的运动平面上定义一公共参考基，记为。基点记为O。在刚体Bi(i=1,…,N)上取某一点Ci(不一定是质心)为基点建立一连体基。将该基点相对于公共参考基基点O的矢径记为。它在基的坐标阵为。连体基的基矢量与公共参考基的基矢量正向的夹角为该刚体的姿态角i(见图8-1)。坐标阵与姿态角i确定了刚体Bi的位形，它们构成Bi的位形坐标列阵，记为(i=1,…,N)(8.1-1)组集这N个列阵，构成了描述该刚体系位形的坐标列阵：(8.1-2)称其为刚体系的笛卡尔(Cartesian)位形坐标阵。该坐标阵坐标个数为n=3N。图8-2笛卡尔坐标描述刚体系位形以图8-2所示的平面三杆系统为例。如图建立公共基。该系统由三个刚体组成，分别建立连体基、与。系统的位形坐标阵有9个坐标构成，即(8.1-3)这9个坐标都是时间的函数。连体基也可以按图8-3所示定义，即刚体B1连体基的基点C1取在转动铰O的铰点处，刚体B2连体基的基点C2取在其与B1的转动铰的铰点处，刚体B3连体基的基点C3取在其与B2的转动铰的铰点处。系统的位形坐标阵的形式仍如同式(8.1-3)。考虑到刚体B1连体基的基点C1与O始终重合，矢径在基上的坐标阵为零阵，故坐标阵中7个是时变的。可见适当的选取连体基可减少系统位形坐标阵中时变量的个数。图8-3连体基的基点在铰点上的情况对于上述平面三杆系统也可按如下的方式描述其位形。首先如图8-3所示建立各刚体的连体基。刚体B1的位形坐标为基点C2的矢径在的坐标阵为(其中l1为B1的杆长)。如果刚体B1的位形已经确定，定义如下的坐标阵同样可确定刚体B2的位形基点C3的矢径由基点C2指向C3的矢径替代，后者在的坐标阵为(其中l2为B2的杆长)。如果刚体B2的位形已经确定，定义如下的坐标阵同样可确定刚体B3的位形可见系统的位形将由、与等3个时变的变量确定。系统的位形坐标可定义为(8.1-4)读者不难看出，上述定义的位形坐标阵变量个数少，但依赖技巧。而对于任意一个刚体系，利用笛卡尔位形坐标描述位形比较规范，只要设定好公共基与连体基，坐标阵(8.1-2)的定义是统一的。系统约束方程对于刚体系，刚体间存在铰(或运动副)。在一个铰的邻接刚体中，一个刚体的运动将部分地牵制了另一刚体的运动。在一般情况下，描述系统位形的坐标并不完全独立，在运动过程中，它们之间存在某些关系。这些关系的解析表达式构成约束方程。约束方程的建立通常有两种方法。一种是总体方法，另一种为局部方法。下面以上述三杆系统为例，简单说明这两种方法的特点。约束方程建立的总体方法总体方法是按其总体的几何关系写出位形坐标的约束方程。对于如图8-3所示的位形描述方法，其位形坐标阵为式(8.1-4)，根据两支座的在x与y两个方向的相对距离保持不变的条件，可列出两个约束方程，即。(8.1-5)其中l1、l2与l3分别为三杆的杆长。当1给定，由此方程组可解出2与3。坐标1将完全确定了系统的位形。约束方程建立的局部方法图8-4局部方法建立约束方程局部方法是从每个铰所关联的刚体偶对局部出发，根据铰的性质建立邻接刚体的坐标间的约束方程。对于如图8-2所示的位形描述方法，其位形坐标阵为笛卡尔坐标式(8.1-3)。对于转动铰，铰点在运动过程中始终保持重合。这样对于铰A与B有如下相似的矢量关系(见图8-4)：其中(i=1,2,3)为杆Bi连体基基点Ci的矢径，为杆Bi上Ci指向铰A的连体矢径(其他类同)。令与为支座O与D的矢径，对于铰C与D有类似的矢量关系：上述每个矢量式在公共基上有两个标量坐标式，它们组成系统的约束方程组，即(8.1-6a)(8.1-6b)(8.1-6c)(8.1-6d)以上8个约束方程相互独立。由于系统的位形坐标的个数为9，当其中有一个坐标(如1)给定后，其余8个坐标可由上述方程组解得。因此系统位形完全取决于该位形坐标。比较这两种建立系统约束方程组的方法可知，局部方法统一由铰的偶对刚体出发，对于同一类铰，约束方程有共性。系统的约束方程是各铰的约束方程的组集。总体方法则缺少这种共性，方程的建立更多的依赖于读者的经验与分析问题的能力。综上所述，采用一般形式的笛卡尔坐标与建立约束方程的局部方法便于计算机建立刚体系统运动...
