一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）41.如图，已知：在RtAABC中，斜边AB=10,sinA=，点P为边AB上一动点（不与A,B重合），PQ平分/CPB父边BC于点Q,QM丄AB于M,QN丄CP于N.(1)当AP=CP时，求QP；(2)若四边形PMQN为菱形，求CQ；(3)探究：AP为何值时，四边形PMQN与氐BPQ的面积相等?4【答案】(1)解：TAB=10，sinA=，BC=8，则AC=\-'=6，TPA=PC.ZPAC=ZPCA，TPQ平分ZCPB，.ZBPC=2ZBPQ=2ZA，.ZBPQ=ZA，.PQIIAC，•••PQ丄BC，又PQ平分ZCPB，.ZPCQ=ZPBQ，.PB=PC，.P是AB的中点，•PQ=-AC=3(2)解：T四边形PMQN为菱形.MQIPC，.ZAPC=90°，•上xABxCP=二xACxBC，则PC=4.8，aBQ•••CQ=■-=,•BQ=8-由勾股定理得，PB=6.4,TMQIIPC,H=M=證=QC，即/.8=CQ,2!解得，CQ=(3)解：TPQ平分ZCPB,QM丄AB,QN丄CP,QM=QN，PM=PN，''△PMQ=SAPNQ，-四边形PMQN与厶BPQ的面积相等,PB=2PM，QM是线段PB的垂直平分线，.ZB=ZBPQ,.ZB=ZCPQ,△CPQ-△CBP,CFCQPG•=八，393£>•BM=x■-=.-,•AP=AB-PB=AB-2BM=■【解析】【分析】（1）当AP=CP时，由锐角三角函数可知AC=6,BC=8，因为PQ平分ZCPB,所以PQ//AC，可知PB=PC，所以点P是AB的中点，所以PQ是厶ABC的中位线，PQ=3;⑵当四边形PMQN为菱形时，因为ZAPC=',所以四边形PMQN为正方形，可得PBBQ24———-—-—QC——PC=4.8,PB=3.6，因为MQ//PC，所以'=■■<匕’,可得；⑶当QM垂直平分PB时，四边形PMQN的面积与△BPQ的面积相等，此时253&QC————△CPQ-△CBP,对应边成比例，可得■-,所以，因为AP=AB-2BM,所以2.如图，在菱形ABCD中，-，占■-，点E是边BC的中点，连接AP=.(1)求DE的长；(2)点F为边CD上的一点，连接AF,交DE于点G,连接EF,若―"-:乞,①求证：△丿上△八-「；②求DF的长.【答案】(1)解：连结BD(2)解：①丁「卜.「丿ZZ1AGDs八EG卜”AGDG•■云_五文："ZAGE=ZDGI・：Z1AGhB&F②丁工士-［上」匕-“ZZEAG=ZGDF=90-ZC=30?ZAGD=^EGFf^AGE二ZDGP-：ZGFE=ZADG=90文7DE=心过点E作瓯丄DC于点A在胎AECH申，FH=声_Elf=_;・：CF=FHCH=21二3ZDF=CD~CF=1【解析】【分析】（1）连结BD,根据菱形的性质及等边三角形的判定方法首先判定出△CDB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出DE丄BC,CE=2,然后利用勾股定理算出DE的长；AGDG—二—（2）①首先判断出△AGD-△EGF，根据相似三角形对应边成比例得出'，又ZAGE=ZDGF，故厶AGE-△DGF；②根据相似三角形的性质及含30°直角三角形的边之间的关系及勾股定理得出EF的长，然后过点E作EH丄DC于点H，在RtAECH中，利用勾股定理算出FH的长，从而根据线段的和差即可算出答案.3.如图，二次函数'一门-2、■■■■■■■（其中a，m是常数，且a>0,m>0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C（0，—3），点D在二次函数的图象上，CDIIAB，连接AD.过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分ZDAE.Ab(2)求证：•为定值；(3)设该二次函数图象的顶点为F.探索：在x轴的负半轴上是否存在点G,连接CF,以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由.1白二—【答案】(1)解：将C(0,-3)代入函数表达式得，士-匸”--「，•••■由•「'；-获■'■■■'"■-解得X]=—m,x2=3m.「.A(—m,0)，B(3m,0).•••CDIIAB,•点D的坐标为(2m,—3).TAB平分上DAE.「.ZDAM=ZEAN.ADAMOb_二t—_TZDMA=ZENA=9Oo,•△ADM-△AEN,••二.设点E的坐标为(x,),33m』””°A'-(~Hl)—ry--3ar)•'x=4m.AD_Atf_帥疗一>>■'-沁、一5为（3）解：存在，如答图2,连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G.由题意得：二次函数图像顶点F的坐标为（m,-4）,过点F作FH丄x轴于点H，在RtACGO和RtAFGH中，aHlOC.HlvtanZCGO=,tanZFGH=:二,A=OG="3m,"由勾股定理得，GF=\■''\"'、,AD=AD二—由（2）得，■--,.AD:GF:AE=3:4:5..以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为一3m.解析】【分析】1）将C点代入函数解析式即可求得.（2）令y=0求A、B的坐标，再根据，CDIIAB,求点D的坐标，由△ADM-△AEN,对应边成比例，将求'的比转化成求•:比...
