《游戏编程数学与物理基础》学习笔记VIP专享VIP免费

点和直线点的表示：在2D平面上用一个2元组表示(x,y)在3D位置上用一个3元组表示(x,y,z)记得要统一x，y，z轴的起点和方向。直线的属性：斜率斜率slope=1212xxyyxy−−=∆∆性质①斜率相等的两条直线平行②斜率为负值，表示直线沿左上角到右下角延伸③斜率为正值，表示直线沿左下角到右上角延伸④斜率为0，直线为水平线，和x轴平行⑤分母为0，表示直线为垂直型，和y轴平行⑥相互垂直的直线斜率的积为-1直线的标准表示是Ax+By=C，斜率为m=-A/B斜截式是y=mx+b，斜率为m点斜式是(y–y1)=m(x–x1)，斜率为m对于同一平面上的两条直线组成的线性方程组，其解的情况如下：①如果两直线的斜率不相等，则有一组解，该解为两直线交点；②如果两直线的斜率以及在y轴上的截距相等，则有无穷组解，即两直线重叠；③如果两直线的斜率以及在y轴上的截距不相等，则无解，即两直线平行。相关几何知识1两点间的距离在人工智能程序中，智能体可以通过判断敌人与自己的距离来决定发动攻击的时机。2D场景中的距离公式：设点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)分别为线上的点，他们的距离d的计算方法如下：212212)y-(y)x-(x+=d3D场景中的距离公式：212212212)()()(zzyyxxd−+−+−=2两点的中点坐标设有点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，两点的中点P3的坐标是：)2,2(21213yyxxp++=3抛物线抛物线总是轴对称的。有两个因素决定了抛物线的形状，第一是顶点，是抛物线的与对称轴的交点；第二个是对称轴。抛物线有2种形状，一种是对称轴垂直，一种是对称轴水平。对称轴垂直的抛物线方程：y=a(x-h)2+k顶点是(h,k)，对称轴为x=h对称轴水平的抛物线方程：x=a(y–k)2+h顶点是(h,k)，对称轴为y=k常数a代表了抛物线的开口方向和开口大小。如果a是正数，对于y=a(x-h)2+k的抛物线来说开口向上，对于x=a(y–k)2+h的抛物线来说开口向右。如果a是负数，对于y=a(x-h)2+k的抛物线来说开口向下，对于x=a(y–k)2+h的抛物线来说开口向左。a的绝对值越大，开口越小。4圆和球圆是所有到定点长度等于定长的点的集合，这个定长称为半径，定点称为圆心。圆的方程：(x-h)2+(y-k)2=r2圆心是(h,k)，半径是r球是一个圆绕着圆心旋转所得到的。球体的方程：(x-h)2+(y-k)2+(z-l)2=r2圆心是(h,k,l)，半径是r使用方程时应注意圆心坐标的正负号。5在碰撞检测中的应用可以在游戏中利用圆或球的边界进行碰撞检测。当然也可以利用其他图形。不过圆和球都可以方便地进行数学计算，它们在检测的速度上也优于其他图形。虽然精确度不高，但是可以作为外围检测。两圆之间，如果两圆心的距离小于两圆的半径和，即发生碰撞。设两圆方程分别为：(x–h1)2+(y–k1)2=r12和(x–h2)2+(y–k2)2=r22。如果：)()()(21212212rrkkhh+≤−+−，则两圆发生碰撞。由于开方运算会占用大量的处理器资源，所以建议使用平方进行比较。利用圆边界进行碰撞检测是一种较快的方法，但是极有可能会产生错误的碰撞检测结果，所以避免错误的方法是寻找一种更适合的图形来检测。只要这个图形可以用数学公式表示出来。也可以使用多重圆形进行多重检测，先检测外面的圆，如果发生碰撞则检测内部的圆，减小错误判断的几率。但多重检测会消耗更多的CPU时间。三角函数1角度和弧度每个角都由相交于一点的两条射线组成，我们把其中一条射线称为始边，另一条称为终边。而角的始边总是沿着x轴的正方向。从x轴正方向开始，沿逆时针方向进行旋转的角称为正角，沿顺时针方向旋转的角称为负角，注意该旋转也将决定了终边的位置。一个周角是360。，也可以表示成Rπ2。这是角度和弧度之间进行转换的基础。角度转换成弧度公式：角度×��������°180Rπ=弧度注意：①R只是个单位符号②对于C++中所有的三角函数，比如sin()、cos()、tan()等它们都是以弧度值作为输入的；因此在处理角度的时候，我们可以在函数开头用#define定义一个宏，完成弧度和角度的互换。#defineRadToDeg57.29577951f#defineDegToRad0.017453293f只需把角度×DegToRad即可得到相应的弧度，或弧度×RadToDeg即可得到相应角度。弧度转换成角度公式：弧度×������°Rπ180=角度2三角函数所有的三角函数都是直角三角形中定义的。abcacb===αααt...