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第三讲圆锥曲线性质的探讨时静2008年8月(一)平行投影复习与引入1、点在直线上的正射影MNAA‘2、直线在直线上的正射影NMABA‘B‘思考:点、直线在平面上的正射影是什么呢?给定一个平面,从一点A作平面的垂线,垂足为点A′称为点A在平面上的正射影那么,一条直线在平面上的正射影是什么样的图形呢?AA′一个图形上各点在平面上的正射影所组成的图形,称为这个图形在平面上的正射影AA′B′Bααα思考:一个圆所在的平面与平面平行时,该圆在平面上的正射影是什么图形?当平面与平面不平行时,圆在平面上的正射影是什么图形?αββαββ如果平面与平面垂直时,圆在平面上的正射影又是什么图形?如果取消“垂直”的限定,那么正射影的概念可以作进一步推广。设直线l与平面相交,称直线l的方向为投影方向。过A点作平行于l的直线(称为投影线)必交与一点A′称点为A沿l的方向在平面上的平行射影。AA′αββαα一个图形上各点在平面上的平行射影所组成的图形,叫做这个图形的平行射影。显然,正射影是平行射影的特例。思考:两条相交直线的平行射影是否还是相交直线?两条平行直线的平行射影是否还是平行直线?将一个放在桌面上的玻璃杯中倒入半杯水,观察水平面所成的图形定义:平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆。如果将玻璃杯倾斜一定的角度,此时水平面又是一个什么样的图形?我们分析一下图中的水平面的结构,水平面的图形可看成是以杯子(圆柱)的母线为投影方向,杯口(圆)在水平面所在平面上的射影。其中,点A的投影为点E,点D的投影为F,显然EF>AD。与杯口(圆)的直径AD垂直的直径GH在水平面上的射影PQ的长度保持不变,因此EF>PQ,于是杯口(圆)的射影不是一个圆,而是椭圆AEPHQFGC结论:用一个平面去截一个圆柱,当平面与圆柱的两底面平行时,截面是一个圆;当平面志圆柱的两底面不平行时,截面是一个椭圆。(二)平面与圆柱面的截线ABCDEFF1F2O1O2G1G2问题:(1)G2F1+G2F2与AD什么关系?(2)AD的长与G1G2什么关系?(3)G2F1与G2E有什么关系?ABCDF1F2O1O2G1G2PK2K1PF1+PF2=PK1+PK2=AD(AD为定值)定理1:圆柱形物体的斜截口是椭圆ABCDF1F2O1O2G1G2PK2K1QEF1l2l定值PQPKPQPFcos11定值EGFGcos212准线离心率(三)平面与圆锥面的截线ABCPDl问题:当与满足什么关系时(1)与AB(或AB的延长线),AC都相交l(2)与AB不相交l(3)与BA的延长线,AC都相交lABCPDlFGE(1),与AB(或AB的延长线)、AC都相交。l(2),与AB不相交。l(3),与BA的延长线、AC都相交。l定理2在空间中,取直线为轴,直线与相交于O点,夹角为,围绕旋转得到以O为顶点,为母线的圆锥面,任取平面,若它与轴的交角为(当与平行时,记),则l'll'll'll0l(1),平面与圆锥的交线为椭圆;(2),平面与圆锥的交线为抛物线;(3),平面与圆锥的交线为双曲线;1交线为椭圆时的证明S1S2F1F2PQ2Q1PF1+PF2=PQ1+PQ2=Q1Q2(Q1Q2为定值)2椭圆的性质伍常考知识点1高考:无2模拟考:(1)平行投影的性质(2)球的切线与切面(3)圆柱面的内切球与圆柱面的平面截线(4)圆锥面及其内切球

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