讲师：邹老师向量加法运算及其几何意义知识要点要点1．向量的加法（1）定义：求两个向量____的运算，叫做向量的加法．两个向量的和仍然是一个______．（2）三角形法则：如图甲所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点，作ABa�，BCb�，则向量AC�叫做向量a与b的和，记作a＋b．这种求________的方法叫做向量加法的三角形法则．（3）平行四边形法则：已知两个不共线向量a、b（如图乙所示），作AB�＝a，AD�＝b，则A、B、D三点不共线，以AB�，AD�为邻边作平行四边形ABCD，则向量＝a＋b，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．【拓展】①向量加法的多边形法则：n个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一组向量折线，这n个向量的和等于折线起点到终点的向量．这个法则叫做向量加法的多边形法则．多边形法则实质就是三角形法则的连续应用．②三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义．（4）规定：a＋0＝0＋a＝a．（5）结论：|a＋b|≤|a|＋|b|．和向量向量和AC�2．向量加法的交换律已知向量a、b，如图所示，作ABa�，BCb�，如果A、B、C不共线，则AC�＝a＋b．作ADb�，连接DC，如果我们能证明DCa�，那么也就证明了加法交换律成立．由作图可知，ADBCb�，所以四边形ABCD是平行四边形，这就证明了DCa�，即a＋b＝b＋a．向量的加法满足交换律．3．向量加法的结合律如图，作ABa�，BCb�，CDc�，由向量加法的定义，知ACABBCab�，BDBCCDbc�，所以()ADACCDabc�，()ADABBDabc�．从而(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，即向量的加法满足结合律．典题剖析例1．如下图中（1）、（2）所示，试作出向量a与b的和．【分析】依据向量加法的三角形法则，在平面上任取一点O，以O为起点作出一个向量等于a，再以终点为起点作下一个向量等于b，可得出a＋b．反思：应用三角形法则、平行四边形法则作向量和时需注意的问题：①三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”．即n个向量首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点．指向第n个向量的终点的向量②平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．【解析】如下图中（1）、（2）所示，首先作OAa�，然后作=ABb�，则OAab�．变式训练：如图，已知a、b，求作a＋b【解析】①ACab�；②ACab�例2．化简下列各式：（1）ABBCCDDA�；（2）()ABMBBOOM�；（3）ABCDBC�；（4）()ABBDCADC�．【解析】（1）()()0ABBCCDDAABBCCDDAACCA�；（2）()()()ABMBBOOMABBOOMMBAOOBAB��；（3）ABCDBCABBCCDAD�；（4）()()()0ABBDCADCABBDDCCA�．点评：封闭图形中所有向量依次相加之和为零向量变式训练：（1）在正六边形ABCDEF中，ABa�，AFb�，则AC�________，AD�________，AE�________.（2）ABDFCDBCFA�________.【解析】（1）如图，连结FC交AD于点O，连OB，由平面几何知识得四边形ABOF，四边形ABCO均为平行四边形．根据向量的平行四边形法则，有AOABAFab�.在平行四边形ABCO中，2ACABAOaabab�．222ADAOab�．而EFAOab�，由三角形法则得：2AEAFFEbabab�．（2）0ABDECDBCFAABBCCDDEFA�．例3．如图，在重300N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小．【解析】如图，作□OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，OA�和OB�分别表示两根绳子的拉力，则OC�表示这两根绳子拉力的合力，则OC�＝300N.在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.则3cos3030015032OAOC�(N)，1sin303001502ACOC�(N)，即150OBAC�(N)．则可得与铅垂线成30°角的绳子的拉力是1503N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N.规律总结：解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤解题：弄清...
