第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题一、知识梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式(组)表示区域Ax＋By＋C>0(<0)直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0(≤0)包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝x＋2y线性目标函数关于x，y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题常用结论1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．2．最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．二、习题改编(必修5P91练习T1改编)若x，y满足则y－x的最小值为，最大值为．答案：－31一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．()(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×二、易错纠偏(1)不明确目标函数的最值与等值线截距的关系；(2)不理解目标函数的几何意义；(3)平面区域内点满足关系不理解．1．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是．解析：因为直线2x－3y＋6＝0的上方区域可以用不等式2x－3y＋6＜0表示，所以由点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方得－4－3t＋6＜0，解得t＞.答案：2．设x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值与最小值的比值为．解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z＝x＋y可化为y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z经过A点时，z最大，联立得故A(2，5)，此时z＝7；当直线y＝－x＋z经过B点时，z最小，联立得故B，此时z＝－，故最大值与最小值的比值为－2.答案：－23．已知x，y满足条件则z＝的最大值为．解析：作出可行域如图，问题转化区域上哪一点与点M(－3，1)连线斜率最大，观察知点A，使kMA最大，zmax＝kMA＝＝3.答案：3二元一次不等式(组)表示的平面区域(典例迁移)(1)不等式组所表示的平面区域的面积等于()A.B.C.D．(2)设不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx－2上存在M内的点，则实数k的取值范围是()A．[1，3]B．(－∞，1]∪[3，＋∞)C．[2，5]D．(－∞，2]∪[5，＋∞)【解析】(1)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，A，B(1，1)，C(0，4)，则△ABC的面积为×1×＝.故选C.(2)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为直线l：y＝kx－2的图象过定点A(0，－2)，且斜率为k，由图知，当直线l过点B(1，3)时，k取最大值＝5，当直线l过点C(2，2)时，k取最小值＝2，故实数k的取值范围是[2，5]．【答案】(1)C(2)C【迁移探究】(变问法)本例(2)中条件不变，求平面区域M的面积，结果如何？解：可知平面区域M为等腰直角三角形，可求出B(1，3)和C(2，2)，所以|BC|＝，所以S＝××＝1.二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在直角坐...
