第四节直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)相离相切相交图形量化方程观点Δ＜0Δ＝0Δ＞0几何观点d＞rd＝rd＜r2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|[小题体验]1．(2018·宁波一中月考)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选C由题意得圆心为(a,0)，半径为.圆心到直线的距离为d＝，由直线与圆有公共点可得≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.∴实数a的取值范围是[－3,1]．2．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦长为4，则实数a的值是()A．－2B．－4C．－6D．－8解析：选B将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1,1)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，又r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4.3．(2018·宁波调研)点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________；|PQ|的最大值是________．解析：把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，分别为(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径是3；圆C2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.圆心距d＝＝3.所以|PQ|的最小值是3－5，|PQ|的最大值为3＋5.答案：3－53＋51．对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在的情形．2．两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．[小题纠偏]1．过点(2,3)与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程为________．解析：①若切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y＝k(x－2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，得k＝，所以切线方程为4x－3y＋1＝0，②若切线的斜率不存在，则切线方程为x＝2，也是圆的切线，所以直线方程为4x－3y＋1＝0或x＝2.答案：x＝2或4x－3y＋1＝02．若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝________.答案：±2或0[题组练透]1．直线y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是()A．(，2)B．(，3)C.D.解析：选D当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；当直线与圆相切时圆心到直线的距离d＝＝1，解得m＝(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1＜m＜.2．(2018·大庆二模)已知P是直线l：kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，切点分别为A，B，若四边形PACB的面积最小为2，则k的值为()A．3B．2C．1D.解析：选B易知圆C的圆心C(0,1)，半径r＝1，∴S四边形PACB＝PA·AC＝PA＝＝，∴当|CP|最小，即CP⊥直线kx＋y＋4＝0时，四边形PACB的面积最小，由四边形PACB的面积最小为＝2，得|CP|min＝，由点到直线的距离公式得|CP|min＝＝， k＞0，∴k＝2.3．(2018·衡水中学期中考试)若圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为的点，则实数a的取值范围是________________．解析： 圆(x－a)2＋(y－a)2＝8的圆心(a，a)到原点的距离为|a|，半径r＝2，且圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为的点，∴2－≤|a|≤2＋，∴1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1，∴实数a的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．答案：[－3，－1]∪[1,3][谨记通法]判断直线与圆的位置关系一般有2种方法(1)几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．(2)代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大，能用几何法，尽量不用代数法．[锁定考向]与圆有关的切线及弦长问题，是近年来高考的一个热点，常见的命题角度有：(1)求圆的切线方程(切线长)；(2)求弦长；(3)由弦长及切线问题求参数．[题点全练]角度一：求圆的切线方程(切线长)1．(2018·金华调研)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2...
