第15讲全等形与相似形全等形和相似形是平面几何的重点内容，全等三角形和相似三角形是其中的主要内容．全等三角形是相似三角形的特殊情形，这两部分知识在中学数学中占有重要地位，同时这两部分知识也是研究几何的基础，它对进一步的学习和对思维能力的培养都是非常重要的．1.全等三角形的判定与性质判定边角边公理SAS、角边角公理ASA、角角边定理AAS、边边边定理SSS.若三角形是直角三角形还可以用斜边直角边定理HL.性质全等三角形的对应边、对应角、对应中线、对应高、对应角平分线、对应位置上的线段和角都相等．2.相似三角形的判定与性质判定①一个角对应相等，并且夹这个角的两边对应成比例；②两个角对应相等；③三条边对应成比例；④两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例．性质相似三角形的对应角相等；对应边的比、对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比以及周长之比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．3.常用方法论证的过程通常是，由待证明的等式反过来找相应的三角形，然后证明相应的三角形全等或相似．而“相应的三角形”往往不是现成的，需要我们去构造，去作辅助线．在竞赛中，连续证多次全等或相似是常见的．A类例题例1如图，点C是线段AB上一点，ACD和BCE是两个等边三角形，点D、E在AB同旁，AE、BD分别交CD、CE于G、H.求证:GH∥AB．分析要证明GH∥AB，也就是要证明GCH为等边三角形，即要证明CG=CH，从而可以通过三角形全等来解决，于是有下面的证法．证明如图，∠1=∠2=∠3=600，∴∠DCB=∠ACE=1200．又 AC=CD，CE=CB，∴ACE≌DCB．∴∠4=∠5．又 ∠1=∠3，CB=CE，∴CGE≌CHB．∴CG=CH．∴GCH为等边三角形，∠GHC=∠HCB=600．∴GH∥AB．例2在∠A的两边上分别截取AB=AC，在AB上截取AE，在AC上截取AD，且使AD=AE.试问:BD与CE的交点P是否在∠A的平分线上?分析要判断P是否在∠A的平分线上，可以连结AP，判断∠BAP与∠CAP是否相等，于是可以通过三角形全等来证明．解 AB=AC，AD=AE，∠A=∠A，∴ABD≌ACE．∴∠ABP=∠ACP．又 AB=AC，AE=AD，∴BE=CD．又∠BPE=∠CPD，∠ABP=∠ACP，∴BPE≌CPD．∴PE=PD．连结AP．又 AE=AD，AP=AP，PE=PD，∴AEP≌ADP．∴∠BAP=∠CAP．∴点P在∠BAC的平分线上．说明①本题实际上又提供了一种作角平分线的方法；②由BPE≌CPD可知BE和CD边上的对应高相等，从而点P在∠BAC的平分线上．情景再现链接从几何变换的角度ACE顺时针旋转600得到DCB．一般来说，平移、旋转等变换都是全等变形．BCDEGHAABCDEGH12345ABCEDPABCEDP1．ABC中，AB=AC，E为AB上一点，F为AC的延长线上一点，EF交BC于D，DE=DF，求证：BF=CF．2．如图，已知ABC中，ACB=900，ADAB，AD=AB，BEDC，AFAC，求证:CF平分ACB．B类例题例3已知在等腰直角ABC中，A是直角，D是AC上一点，AEBD，AE的延长线交BC于F，若ADB=FDC，求证:D是AC的中点．分析要证明D是AC的中点，可以构造两个全等三角形，证明两条线段相等．证明过C作CGAC,交AE的延长线于点G，[来源:Z*xx*k.Com] BAC=900，∴1+3=900． AEBD，∴2+3=900．∴1=2．在ABD与CAG中，∠BAD=∠ACG=900，AB=CA，∠1=∠2，∴ABD≌CAG．∴∠3=∠5，AD=CG． AB=AC，∠BAC=900，∴∠ACB=450． ∠ACG=900，∴∠GCF=450． ∠4=∠3．∴∠4=∠5．在DCF和GCF中，∠4=∠5，∠DCF=∠GCF，CF=CF，∴DCF≌GCF．∴DC=GC．∴AD=DC．说明事实上本题由等腰直角三角形可以补成正方形，很自然就可以添加本题的辅助线，“补形”是添辅助线常用的方法之一．ABCFEDBCDAEFBCDAEFG12345BCDEAFABCED例4已知：在ABC中，BC=2AB，AD是BC边上的中线，AE是ABD的中线．求证：AC=2AE．分析题目中涉及到中点和倍差关系，因此可以利用中点的性质和截长补短的方法作辅助线，从而有下列证法.证法一延长AE到F,使AE=EF,连BF,DF.在ABE与FDE中 AE=FE,BE=DE,1=2,∴ABE≌FDE∴AB=FD,4=3 BC=2AB,D为BC的中点∴AB=CD[来源:学科网]∴DF=DC在ADC与ADF中 6=4+5,又 ADF=3+5,而4=3∴6=ADF,AD=AD,DC=DF∴ADC≌AD...
