、双曲线的渐近线和离心率-理(解析版)2————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：-3-圆锥曲线专题突破三：双曲线的渐近线和离心率题型一双曲线的渐近线问题例1(2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为52，则C的渐近线方程为________．破题切入点根据双曲线的离心率求出a和b的比例关系，进而求出渐近线．解析由e＝ca＝52知，a＝2k，c＝5k，k∈(0，＋∞)，由b2＝c2－a2＝k2，知b＝k.所以ba＝12.即渐近线方程为y＝±12x.题型二双曲线的离心率问题例2已知O为坐标原点，双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，以OF为直径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点A，B，若(AO→＋AF→)·OF→＝0，则双曲线的离心率e为________．破题切入点数形结合，画出合适图形，找出a，b间的关系．解析如图，设OF的中点为T，由(AO→＋AF→)·OF→＝0可知AT⊥OF，又A在以OF为直径的圆上，∴Ac2，c2，又A在直线y＝bax上，∴a＝b，∴e＝2.题型三双曲线的渐近线与离心率综合问题例3已知A(1,2)，B(－1,2)，动点P满足AP→⊥BP→.若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．破题切入点先由直接法确定点P的轨迹(为一个圆)，再由渐近线与该轨迹无公共点得到不等关系，进一步列出关于离心率e的不等式进行求解．解析设P(x，y)，由题设条件，得动点P的轨迹为(x－1)(x＋1)＋(y－2)·(y－2)＝0，即x2＋(y－2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆．又双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±bax，即bx±ay＝0，由题意，可得2aa2＋b2>1，即2ac>1，所以e＝ca<2，又e>1，故11的条件，常用到数形结合．(2)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法．由y＝±bax?xa±yb＝0?x2a2－y2b2＝0，所以可以把标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程．双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个数据，由-4-于ba＝c2－a2a＝e2－1，当e逐渐增大时，ba的值就逐渐增大，双曲线的“张口”就逐渐增大．1．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)以及双曲线y2a2－x2b2＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为________．答案2或233解析由题意，可知双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线的倾斜角为30°或60°，则ba＝33或3.则e＝ca＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋ba2＝233或2.2．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若F2H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为________．答案2解析取双曲线的渐近线y＝bax，则过F2与渐近线垂直的直线方程为y＝－ab(x－c)，可解得点H的坐标为a2c，abc，则F2H的中点M的坐标为a2＋c22c，ab2c，代入双曲线方程x2a2－y2b2＝1可得a2＋c224a2c2－a2b24c2b2＝1，整理得c2＝2a2，即可得e＝ca＝2.3．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为________．答案x25－y24＝1解析 双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax，圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心为C(3,0)．又渐近线方程与圆C相切，即直线bx－ay＝0与圆C相切，∴3ba2＋b2＝2，∴5b2＝4a2.①又 x2a2－y2b2＝1的右焦点F2(a2＋b2，0)为圆心C(3,0)，∴a2＋b2＝9.②由①②得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为x25－y24＝1.4．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若双曲线上存在点P使asin∠PF1F2＝csin∠PF2F1，则该双曲线的离心率的取值范围是________．答案(1，2＋1)解析根据正弦定理得PF2sin∠PF1F2＝PF1sin∠PF2F1，由asin∠PF1F2＝csin∠PF2F1，可得aPF2＝cPF1，即PF1PF2＝ca＝e，所以PF1＝ePF2.因为e>1，所以PF1>PF2，点P在双曲线的右支上．又PF...
