变分法简介剖析VIP专享VIP免费

11.1变分法的基本概念1.1.1泛函的概念设S为一函数集合，若对于每一个函数Stx)(有一个实数J与之对应，则称J是定义在S上的泛函，记作))((txJ。S称为J的容许函数集。例如，在],[10xx上光滑曲线y(x)的长度可定义为1021xxdxyJ（2）考虑几个具体曲线，取1,010xx，若xxy)(，则10211)())((dxxJxyJ若y(x)为悬链线，则101012224)(1)2(eedxeedxeeeeJxxxxxx对应],[101xxC中不同的函数y(x)，有不同曲线长度值J，即J依赖于y(x)，是定义在函数集合],[101xxC上的一个泛函，此时我们可以写成))((xyJJ我们称如下形式的泛函为最简泛函fttdttxtxtFtxJ0))(),(,())((（3）被积函数F包含自变量t，未知函数x(t)及导数x(t)。上述曲线长度泛函即为一最简泛函。1.1.2泛函极值问题考虑上述曲线长度泛函，我们可以提出下面问题：在所有连接定点),(),(1100yxByxA和的平面曲线中，试求长度最小的曲线。即，求1100101)(,)(],,[)()()(yxyyxyxxCxyxyxy，使1021))((xxdxyxyJ取最小值。此即为泛函极值问题的一个例子。以极小值为例，一般的泛函极值问题可表述为，称泛函))((txJ在Stx)(0取得极小值，如果对于任意一个与)(0tx接近的Stx)(，都有))(())((0txJtxJ。所谓接近，可以用距离))(),((0txtxd来度量，而距离可以定义为|})()(||,)()({|max))(),((0000txtxtxtxtxtxdfttt泛函的极大值可以类似地定义。其中)(0tx称为泛函的极值函数或极值曲线。1.1.3泛函的变分如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函2的自变量，函数)(tx在)(0tx的增量记为)()()(0txtxtx也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作))(())()((00txJtxtxJJ如果J可以表为))(),(())(),((00txtxrtxtxLJ其中L为x的线性项，而r是x的高阶项，则称L为泛函在)(0tx的变分，记作))((0txJ。用变动的)(tx代替)(0tx，就有))((txJ。泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数的导数：0))()(())((txtxJtxJ（4）这是因为当变分存在时，增量)),(()),(())(())((xtxrxtxLtxJxtxJJ根据L和r的性质有)),(()),((xtxLxtxL0)),((lim)),((lim00xxxtxrxtxr所以)()(lim)(00xJxxJxxJ)(),(),(),(lim0xJxxLxxrxxL1.2泛函极值的相关结论1.2.1泛函极值的变分表示利用变分的表达式（4），可以得到有关泛函极值的重要结论。泛函极值的变分表示：若))((txJ在)(0tx达到极值（极大或极小），则0))((0txJ（5）证明：对任意给定的x，)(0xxJ是变量的函数，该函数在0处达到极值。根据函数极值的必要条件知0)(00xxJ再由（4）式，便可得到（5）式。变分法的基本引理：],[)(21xxCx，],[)(211xxCx，0)()(21xx，有3210)()(xxdxxx，则],[,0)(21xxxx。证明略。1.2.2泛函极值的必要条件考虑最简泛函（3），其中F具有二阶连续偏导数，容许函数类S取为满足端点条件为固定端点（6）的二阶可微函数。00)(xtx，ffxtx)(（6）泛函极值的必要条件：设泛函（3）在x(t)∈S取得极值，则x(t)满足欧拉方程0xxFdtdF（7）欧拉方程推导：首先计算（3）式的变分：0))()((txtxJJfttdttxtxtxtxtF00))()(),()(,(fttxxdtxxxtFxxxtF0]),,(),,([对上式右端第二项做分布积分，并利用0)()(0ftxtx，有ffttxttxxdtxxtFdtddtxxxtF00),,(),,(，所以fttxxxdtFdtdFJ0][利用泛函极值的变分表示，得0][0fttxxxdtFdtdF因为x的任意性，及0)()(0ftxtx，由基本引理，即得（7）。（7）式也可写成0xFxFFFxxxxxtx（8）通常这是关于x(t)的二阶微分方程，通解中的任意常数由端点条件（6）确定。1.2.3几种特殊形式最简泛函的欧拉方程(i)F不依赖于x，即),(xtFF这时0xF，欧拉方程为0),(xtFx，这个方程以隐函数形式给出)(tx，但它一般不满足边界条件，因此，变分问题无解。(ii)F不依赖x，即),(xtFF4欧拉方程为0),(xtFdtdx将上式积分一次，便得首次积分1),(cxtFx，由此可求出),(1ctx，积分后得到可能的极值曲线族dtctx1,(iii)F只依赖于x，即)(xFF这时0,0,0xxxtxFFF，欧拉方程为0xxFx由此可设0x或0xxF，如果0x，则得到含有两个参数的直线族21ctcx。另外若0xxF有一个或几个实根时，则除了上面的直线族外，又得到含有一个参数c的直线族cktx，它包含于上面含有两个参数的直线族21ctcx中，于是，在)(xFF情况下，极值曲线必然是...