含参数导数问题的三个基本讨论点VIP专享VIP免费

含参数导数问题的三个基本讨论点导数是研究函数图像和性质的重要工具，自从导数进入高中数学教材以来，有关导数问题是每年高考的必考试题之一。随着高考对导数考查的不断深入，含参数的导数问题又是历年高考命题的热点。由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论，因而它也是绝大多数考生答题的难点，具体表现在：他们不知何时开始讨论、怎样去讨论。对这一问题不仅高中数学教材没有介绍过，而且在众多的教辅资料中也难得一见，本文就来讨论这一问题，供大家参考。一、求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。例1（2008年高考广东卷（理科）设kR，函数1,11(),()(),1,1xxfxFxfxkxxRxx，试讨论函数()Fx的单调性。解：2211,11,1,11()(),'()1211,1,121kxxkxxxxFxfxkxFxkxxkxxxx。考虑导函数'()0Fx是否有实根，从而需要对参数k的取值进行讨论。（一）若1x，则2211'()1kxFxx。由于当0k时，'()0Fx无实根，而当0k时，'()0Fx有实根，因此，对参数k分0k和0k两种情况讨论。（1）当0k时，'()0Fx在(,1)上恒成立，所以函数()Fx在(,1)上为增函数；（2）当0k时，222111111'()11kxxkxkkFxxx。由'()0Fx，得12111,1xxkk，因为0k，所以121xx。由'()0Fx，得111xk；由'()0Fx，得11xk。因此，当0k时，函数()Fx在1(,1)k上为减函数，在1(1,1)k上为增函数。（二）若1x，则121'()21kxFxx。由于当0k时，'()0Fx无实根，而当0k时，'()0Fx有实根，因此，对参数k分0k和0k两种情况讨论。（1）当0k时，'()0Fx在1,上恒成立，所以函数()Fx在1,上为减函数；（2）当0k时，111212'()211kxkxkFxxx。由'()0Fx，得2114xk；由'()0Fx，得21114xk。因此，当0k时，函数()Fx在211,14k上为减函数，在211,4k上为增函数。综上所述：（1）当0k时，函数()Fx在1(,1)k上为减函数，在1(1,1)k上为增函数，在1,上为减函数。（2）当0k时，函数()Fx在(,1)上为增函数，在1,上为减函数。（3）当0k时，函数()Fx在(,1)上为增函数，在211,14k上为减函数，在211,4k上为增函数。二、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。例2(2008高考浙江卷理科)已知a是实数，函数fxxxa（Ⅰ）求函数fx的单调区间；（Ⅱ）设ga为fx在区间0,2上的最小值。（i）写出ga的表达式；（ii）求a的取值范围，使得62ga。解：（Ⅰ）函数的定义域为0,，'3330222axxaxafxxxxxx，由'()0fx得3ax。考虑3a是否落在导函数'()fx的定义域0,内，需对参数a的取值分0a及0a两种情况进行讨论。（1）当0a时，则'()0fx在0,上恒成立，所以fx的单调递增区间为0,。（2）当0a时，由'()0fx，得3ax；由'()0fx，得03ax。因此，当0a时，fx的单调递减区间为0,3a，fx的单调递增区间为,3a。（Ⅱ）（i）由第（Ⅰ）问的结论可知：（1）当0a时，fx在0,上单调递增，从而fx在0,2上单调递增，所以00gaf。（2）当0a时，fx在0,3a上单调递减，在,3a上单调递增，所以：①当0,23a，即06a时，fx在0,3a上单调递减，在,23a上单调递增，所以2333aaagaf932aa。②当2,3a，即6a时，fx在0,2上单调递减，所以222gafa。综上所述，0,02,063322,~6aaagaaaa（ii）令62ga。①若0a，无解；②若06a，由26233aa解得36a；③若6a，由6222a解得6232a。综上所述，a的取值范围为3232a。三、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）,导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。例3（2007年高考天津理科卷）已知函数22211axafxxRx，其中aR。（Ⅰ）当1a时，求曲线yfx在点2,2f处的切线方程；（Ⅱ）当0a时，求函数fx的单调区间与极值。解：（Ⅰ）当1a时，曲线yfx在点2,2f处的切线方程为032256yx。（Ⅱ）由于0a，所以22'2222122122111axaxaxxaxaafxxx。由'0fx，得121,xxaa。这两个实根都在定义域R内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数a的取值分0a和0a两种情况进行讨论。（1）当0a时，则12xx。易得fx在区间1,a，,a内为减函数，在区间1,aa为增函数。故函数fx在11xa处取得极小值21faa；函数fx在2xa处取得极大值1fa。（2）当0a时，则12xx。易得fx在区间),(a，),1(a内为增...