空间直角坐标系与空间向量的运算空间直角坐标系与空间向量的运算考点串串讲1．空间直角坐标系(1)在平面上画空间直角坐标系O－xyz时，一般使∠xOy＝135°，∠yOz＝90°.(2)一般地，在所给几何图形中，如果出现了三条两两垂直的直线，那么就可以利用这三条直线分别作为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．(3)在建立空间直角坐标系时，应注意点O的任意性，原点O的选择要便于解决问题，既有利于作图的直观性，又要尽可能使点的坐标为正值．(4)有了空间直角坐标系，我们就可以建立空间中的任意一点P与有序实数组(x，y，z)之间的一一对应关系了．(5)空间直角坐标系中，在x轴上的点的y坐标、z坐标等于0，所以可记为(x,0,0)，同理，在y轴、z轴上的点的坐标可分别记为(0，y,0)，(0,0，z)．(6)空间直角坐标系中，在xOy平面上的点的z坐标等于0，所以可记为(x，y,0)，同理，在xOz平面、yOz平面上的点的坐标可分别记为(x,0，z)，(0，y，z)．(7)一些常用对称点的坐标：①P(x，y，z)――――――――――→关于坐标平面xOy对称P1(x，y，－z)；②P(x，y，z)――――――――――→关于坐标平面yOz对称P2(－x，y，z)；③P(x，y，z)―――――――――――→关于坐标平面zOx对称P3(x，－y，z)；④P(x，y，z)――――――――→关于x轴对称P4(x，－y，－z)；⑤P(x，y，z)――――――――――→关于y轴对称P5(－x，y，－z)；⑥P(x，y，z)―――――――→关于z轴对称P6(－x，－y，z)；⑦P(x，y，z)―――――――→关于原点对称P7(－x，－y，－z)．(8)平面上的两点之间的线段的中点坐标公式可以推广到空间，即若两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则其中点坐标为(x1＋x22，y1＋y22，z1＋z22)．2．空间向量及其加减与数乘运算(1)空间向量的概念空间向量同平面向量一样，我们把具有大小和方向的量叫做向量，仍用有向线段表示向量，同向且等长的有向线段表示同一个向量或相等向量，空间任意两个向量都可以转化为平面向量．(2)空间向量的运算空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律与平面向量基本相同，向量的加法满足交换律、结合律和数乘的分配律．向量的加法常用平行四边形法则，向量的减法常用三角形法则．特别地OAn→＝OA1→＋A1A2→＋A2A3→＋…＋An－1An.(3)空间向量的加法、减法与数乘运算、运算律．①加法交换律：a＋b＝b＋a.②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．③数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb.3．几个重要的定理(1)由于任意两个向量都是共面向量，所以原有的平面向量有关定理在空间依然成立(如共线向量定理等)．(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量p与它们共面的充要条件是存在实数对(x，y)使得p＝xa＋yb.它的两个推论是：①空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使得MP→＝xMA→＋yMB→；或②对于空间任一点O，有OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→.若x＋y＋z＝1，则根据共面向量定理得：P、A、B、C四点共面．故OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，x＋y＋z＝1，可看成平面ABC的一个向量参数方程，其中x，y，z为参数．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么空间的任意一个向量p总能唯一地表示为p＝xa＋yb＋zc的形式．4．两个向量的数量积(1)数量积的定义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉(其中〈a，b〉为a与b的夹角，〈a，b〉∈[0，π])(2)数量积的性质①a·e＝|a|cos〈a，e〉，其中e为单位向量；②a⊥b⇔a·b＝0；③a2＝a·a＝|a|2.性质①可用来求角；性质②可用来证明线线垂直；性质③可用来求线段的长．(3)数量积的运算律①(λa)·b＝λ(a·b)；②a·b＝b·a(交换律)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．5．空间向量的直角坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；②a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；③λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)；④a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；⑤a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；⑥a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；⑦设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)则AB→＝OB→－OA→＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．6．夹角和距离公式(1)夹角公式设a＝(a1，a...
