上一页返回首页下一页高三一轮总复习第二章函数、导数及其应用第十一节导数与函数的单调性上一页返回首页下一页高三一轮总复习函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内_________；(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内_________；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是_________．单调递增单调递减常数函数上一页返回首页下一页高三一轮总复习考点1判断或证明函数的单调性已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)．试讨论f(x)的单调性.[解]f′(x)＝3x2＋2ax，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝－2a3.当a＝0时，因为f′(x)＝3x2≥0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；上一页返回首页下一页高三一轮总复习当a＞0时，x∈－∞，－2a3∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，x∈－2a3，0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在－∞，－2a3，(0，＋∞)上单调递增，在－2a3，0上单调递减；当a＜0时，x∈(－∞，0)∪－2a3，＋∞时，f′(x)＞0，x∈0，－2a3时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(－∞，0)，－2a3，＋∞上单调递增，在0，－2a3上单调递减.上一页返回首页下一页高三一轮总复习[规律方法]用导数证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)一求．求f′(x)；(2)二定．确认f′(x)在(a，b)内的符号；(3)三结论．作出结论：f′(x)＞0时为增函数；f′(x)＜0时为减函数．上一页返回首页下一页高三一轮总复习[变式1]设函数f(x)＝ax2－a－lnx，g(x)＝1x－eex，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数．(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x>1时，g(x)>0.[解](1)由题意得f′(x)＝2ax－1x＝2ax2－1x(x>0).当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．当a>0时，由f′(x)＝0有x＝12a，上一页返回首页下一页高三一轮总复习当x∈0，12a时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈12a，＋∞时，f′(x)>0，f(x)单调递增.(2)证明：令s(x)＝ex－1－x，则s′(x)＝ex－1－1.当x>1时，s′(x)>0，所以ex－1>x，从而g(x)＝1x－1ex－1>0.上一页返回首页下一页高三一轮总复习考点2求函数的单调区间设函数f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R.求f(x)的单调区间．[解]由f(x)＝x3－ax－b，可得f′(x)＝3x2－a.下面分两种情况讨论：①当a≤0时，有f′(x)＝3x2－a≥0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞).②当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝3a3或x＝－3a3.上一页返回首页下一页高三一轮总复习当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－∞，－3a3－3a3－3a3，3a33a33a3，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递减区间为－3a3，3a3，单调递增区间为－∞，－3a3，3a3，＋∞.上一页返回首页下一页高三一轮总复习[规律方法]求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)在定义域内解不等式f′(x)＞0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f′(x)＜0，得单调递减区间．上一页返回首页下一页高三一轮总复习[变式2]已知函数f(x)＝(－x2＋2x)ex，x∈R，e为自然对数的底数，则函数f(x)的单调递增区间为________．(－2，2)[因为f(x)＝(－x2＋2x)ex，所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.令f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0，因为ex＞0，所以－x2＋2＞0，解得－2＜x＜2，所以函数f(x)的单调递增区间为(－2，2)．]上一页返回首页下一页高三一轮总复习考点3已知函数的单调性求参数已知函数f(x)＝x3－ax－1.若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围．[解]因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立.因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，即实数a的取值范围为(－∞，0].上一页返回首页下一页高三一轮总复习[变式3](变换条件)函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．[解]因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，即a的取值范围为(－∞，3].上一页返...
