§2.2函数的单调性与最值数学苏（理）第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ基础知识·自主学习题型分类·深度剖析思想方法·感悟提高练出高分基础知识·自主学习知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1f(x2)基础知识·自主学习知识梳理图象描述自左向右看图象是自左向右看图象是上升的下降的基础知识·自主学习知识梳理(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是或，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，叫做函数y＝f(x)的单调区间.增函数减函数区间D基础知识·自主学习知识梳理2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有；(2)存在x0∈I，使得.(3)对于任意x∈I，都有；(4)存在x0∈I，使得.结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M基础知识·自主学习知识梳理思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).()(2)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数.()(3)函数y＝|x|是R上的增函数.()1x×√×基础知识·自主学习知识梳理(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).()(5)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是(0，＋∞).()(6)函数y＝的最大值为1.()1－x21＋x2√××基础知识·自主学习考点自测题号答案解析1234①(－∞，1]∪[2，＋∞)②③④43，1解析函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示.由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞).题型分类·深度剖析题型一函数单调性的判断解析思维升华例(1)判断函数f(x)＝axx2－11(a>0)在x∈(－1,1)上的单调性.题型分类·深度剖析题型一函数单调性的判断例(1)判断函数f(x)＝axx2－11(a>0)在x∈(－1,1)上的单调性.解设－10)在x∈(－1,1)上的单调性.∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x21－1)(x22－1)>0.又 a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，∴函数f(x)在(－1,1)上为减函数.解析思维升华题型分类·深度剖析题型一函数单调性的判断例(1)判断函数f(x)＝axx2－11(a>0)在x∈(－1,1)上的单调性.对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之.解析思维升华题型分类·深度剖析解析思维升华例1(2)求函数y＝x2＋x－6的单调区间.题型分类·深度剖析令u＝x2＋x－6，y＝解x2＋x－6可以看作有y＝u与u＝x2＋x－6的复合函数.由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.解析思维升华例1(2)求函数y＝x2＋x－6的单调区间.题型分类·深度剖析 u＝x2＋x－6在(－∞,－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝u在[0，＋∞)上是增函数.∴y＝x2＋x－6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞).解析思维升华例1(2)求函数y＝x2＋x－6的单调区间.题型分类·深度剖析复合函数y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝f[g(x)]必为减函数.解析思维升华例1(2)求函数y＝x2＋x－6的单调区间.题型分类·深度剖析跟踪训练1(1)判断函数f(x)＝x＋ax(a>0)在(0，＋∞)上的单调性.解设x1，x2是任意两个正数，且0
