复旦大学高等代数19981.,是复数.,1nC,0,0.证明:(I-H)1=I-H,=0时必=0,0时必0且H11(15分)2.A=20001cba.cba,,为实数,231.求100A(10分)3.n个实变量nxxx,,,21的二次型为2njijiniixxx112,它是否正定?说明理由.(15分)4.求A=0100110001010011的Jordan标准型和全体特征子空间.5.实阵H是初等反射阵,即TIH2,1nR,1T,当且仅当H正交相似于111.证明之.(20分)6.gf,是互质的实多项式.nnRM,)(MfE,)(MgF.(i)证明：)()()(fNENEFN。(ii)由（i）证：若nnRA且AA3，则有非奇异阵nnRT，使ATT10srsII，)(Arr.(20分)记号:nmR是nm实阵全体.nmC是nm复阵全体.TA,HA分别是阵A的转置和转置复共轭.)(AN是阵A的零空间,即齐次方程组0Ax的解空间.方阵A的特征子空间是)(IAN,其中是A的某个特征值.I是单位阵.21WW是子空间21,WW的直接和.)(Ar是阵A的秩.复旦大学高等代数1999一、概念题（不必写理由或计算过程）：（45分）1．数域K上n阶反对称阵组成的K上线性空间的维数是（）。2．欧氏空间中r个向量两两正交，它们是否线性无关（答是或否）——————。3．欧氏空间中两个正交变换之和是否是正交变换（答是或否）——————。4．上三角阵A是正交阵，则A必是——————阵。5．欧氏空间上自共轭变换在标准正交基下的表示矩阵为——————阵。6．已知8阶阵A的不变因子为1，⋯，1；（1）（12），（1）22)1(，写出A的Jordan标准型。7．设是n维线性变换，V是否必是Ker和Im的直和？（）8．已知V是K上小于4次的多项式全体组成的线性空间且3x，xx3，12x，1x是V的一组基，向量322xx在这组基下的坐标（写成行向量形式）为：——————。9．写出K上4维列向量空间由下面矩阵决定的线性变换的一个2维不变子空间的基：（写在本题空白处）又，的核空间的维数为————。10.求17234xxx和1323xx的最大公因子().11.设dimV=n,dimU=m,是V到U的线性映射,若n>m,则()A.必不是单映射;B.必是满映射;C.必是单映射;D.必不是满映射;12.将n阶方阵A的ji、行对换,再将ji、列对换得矩阵B,则A与B()A.必相似;B.不相似;C无法判断;13.设A是n阶实对称矩阵,A的n个顺序主子式都不小于零是A为半正定阵的()A.充分条件;B必要条件;C.充要条件;D.既非充分又非充要条件;14.社是n维线性空间上的线性变换,1⋯,S是的全部不同特征值,1V是1的特征子空间(i=1,2,⋯,s),则dim1V+⋯+dimsV()cn(填,或=)二．用初等变换法将下列二次型化为标准型并求出变换阵三．设多项式011)(axaxaxfnnnn是整系数多项式，0na,2n,p是素数．若p可以整除)1,,1,0(niai但不能整除na且2p也不能整除0a，求证:)(xf是有理数域上的不可约的多项式．（１０分）四．|,,CBA是数域K上n阶矩阵且r(A)表示A的秩，求证：)()()()(BrBCrABrABCr（１０分）五．设BA,是n阶正交阵且1det,1detBA，求证：BA必是奇异阵．六．设)(g是数域K上线性空间V上线性变换的最小多项式，)()()(qpg且)(p和)(q都是K上不可约多项式,求证：存在的不变子空间21,VV使V是1V和2V的直和且作为1V上的线性变换其最小多项式等于)(p,作为2V上的线性变换其最小多项式等于)(q．（１５分）复旦大学高等数20001．求方阵011111101的逆阵。2．设A为一个n阶方阵且A的秩等于2A的秩。证明A的秩等于3A的秩。3．设A为一个n阶正交阵，121,,,nxxx为一组线性无关的列向量，对于11ni都有iixAx。如果A的行列式等于1，证明A是单位矩阵。4．设n是一个自然数，V是由所有nn实矩阵构成的2n维实向量空间，U和W分别为由所有nn对称矩阵和反对称矩阵构成的空间。证明WUV，既V是U和W的直和。设K为一个数域，][xK为K上以x作为不定元的多项式全体所组成的集合。设)()()()(xqxhxgxfA，其中][)(),(),(),(xKxqxhxgxf。假定)()()()(xhxgxqxf是K中的一个不等于零的数。证明A可以表示成有限多个以下类型的矩阵的乘积：,00,10)(1,1)(01baxsxr其中ba,是K中的非零数，而][)(),(xKxsxr。
