母题十九圆锥曲线的几何性质及其综合应用【母题原题1】【2018天津，理19】设椭圆22221xxab(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为53，点A的坐标为(,0)b，且62FBAB．（I）求椭圆的方程；（II）设直线l：(0)ykxk与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若52sin4AQAOQPQ(O为原点)，求k的值．【考点分析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分14分．【答案】（I）22194xy；（II）12或1128．试题解析：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由已知有2259ca，又由222abc，可得23ab．由已知可得，FBa，2ABb，由62FBAB，可得6ab，从而,32ab，椭圆的方程为22194xy．（Ⅱ）设点P的坐标为11,xy，点Q的坐标为22,xy．易知直线AB的方程为20xy，由方程组{20ykxxy，，消去x，可得221kyk．由1259yy，可得239145kk，两边平方，整理得25650110kk，解得12k，或1128k，k的值为12或1128．【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．【母题原题2】【2017天津，理19】设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12．已知A是抛物线22(0)ypxp的焦点，F到抛物线的准线l的距离为12．（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D．若APD△的面积为62，求直线AP的方程．【答案】（1）22413yx，24yx；（2）3630xy，或3630xy．【解析】试题分析：由于A为抛物线焦点，F到抛物线的准线l的距离为12，则12ac，又椭圆的离心率为12，求出,,cab，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则(1,0)A，设直线AP方程为设1(0)xmym，解出PQ、两点的坐标，把直线AP方程和椭圆方程联立解出B点坐标，写出BQ所在直线方程，求出点D的坐标，最后根据APD△的面积为62解方程求出m，得出直线AP的方程．或2634mym．由点B异于点A，可得点222346(,)3434mmBmm．由2(1,)Qm，可得直线BQ的方程为22262342()(1)(1)()03434mmxymmmm，令0y，解得222332mxm，故2223(,0)32mDm．∴2222236||13232mmADmm．又 APD△的面积为62，故221626232||2mmm，整理得2326||20mm，解得6||3m，∴63m．∴直线AP的方程为3630xy，或3630xy．解法二：设1,,Pt则1,,Qt从而直线AP的方程为12tyx，代入椭圆方程22413yx，整理得22223230txtxt．两根之积为22122233.1,.33ABttxxxxtt代入12tyx，得22233,33ttBtt．∴直线BQ的方程为：222331313tttytxtt，即2612tytxt．令0y，得2612ttxt，解得222226612,1666ttxADttt．261126,,2262APDStt解得6,t直线AP的方程为612yx或612yx，即3630xy，或3630xy．【考点】直线与椭圆综合问题【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键．【母题原题3】【2016天津，理19】设椭圆13222yax（3a）的右焦点为F，右顶点为A，已知||3||1||1FAeOAOF，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H．若HFBF，且MOAMAO，求直线的l斜率的取值范围．【答案】（Ⅰ）22143xy；（Ⅱ）),46[]46,(．【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由113||||||cOFOAFA，得113()ccaaac，又2223acb，所以21c，因此24a，所以椭圆的方程为22143xy．（Ⅱ）解：设直线l的斜率为k（0k），则直线l的方程为)2(xky．设),(BByxB，由方程组)2(13422xkyyx，消去y，整理得0121616)34(2222kxkxk．解得2x，或346822kkx，由题)2(124912xkykkxky消去y，解得)1(1292022kkxM．在MAO中，||||MOMAMAOMO...
