循环问题一、生活实例：我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表个年年号。如果1940年是龙年，那么，1996年是什么年？初看题目，难道要一年一年排下去吗？这不麻烦。仔细推敲，这是个周期性变化的题目，它以鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物为一个变化周期，1940年到1996年经过了56年，56年中含了56÷12=4（个）⋯⋯8（年）。1940年是龙年，过了4个周期，还剩8年，再过8年，则1996年是鼠年。二、要点点击：循环问题与周期问题实属同类，在解题时要抓住“周期”1、找出规律，找准一个完整的变化周期2、把要求的问题和某一周期变化相对应以求得问题的解决。在列出除法算式后对商和余数的含义要做到心中有数。三、例题精讲：例1：a是大于0的整数，a×a×a的个位数字与a的各位数字一样，例如1×1×1＝1，4×4×4＝64，这样的整数a有很多，如果把它们从小到大排列，第41个这样的整数是多少？分析与解：符合条件a的整数是根多，要找出第41个这样的整数，从发现的规律中去找，规律的发现又要从较小数中依次去找，我们不妨从1～10这10个数中去找：1×1×1＝12×2×2＝83×3×3＝274×4×4＝645×5×5＝1258×8×8＝5129×9×9＝72910×10×10＝1000不难发现，上面这些算式中，1、4、5、6、9、10这六个数具有a×a×a的各位数字一样，也就是在1～10中，又6个符合条件的数，三个相同的多位数相乘，积个位只与这个相同的多位数的各位有关，这样就能很快找到从小到大排列第41个这样的整数是多少了。1～10中符合条件的数又6个，即1、4、5、6、9、10，周期是6。11～20，21～30，31～40，41～50⋯⋯各分数段中都有6个。41÷6＝6⋯⋯5，说明的41个数在第7次周期循环中的第5个数，即60～70中符合条件的第5个数，是69。2、20032003的个位数字是几？分析与解：20032003表示2003个2003相乘，即每个因数的个位数都是3，若干个3的连乘积的个位数字是周期性出现：31的个位数字是3；32的个位数字是9；33的位数字是7；34的个位数字是1；35的位数字是3；36的个位数字是9⋯⋯3n（n为自然数）的位数字依次是：3、9、7、1、3、9、7、1⋯⋯周期是4。因为3n位数字是：3、9、7、1循环出现：2003÷4＝500⋯⋯3所以20032003的个位数字是7。例3：有一串数，任何相邻的四个数之和都等于25.已知第一个数是3，第6个数是6，第11个数是7，问：这串数中第24个数是几？分析与解：因为第1、2、3、4个数的和等于第2、3、4、5个数的和所以第1个和第5个数相同，进一步可知，第1、5、9、13⋯⋯个数都相同。同理：第2、6、10、14⋯个数相同，第3、7、11、15⋯个数相同，也就是说，这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的，所以，第2个数等于第6个数是6，第3个数等于第11个数是7，前三个数依次是3、6、7，则第4个数是25－（3+6+7）＝9，这串数是按照3、6、7、9循环出现，第24个数和第4个相同，是9。例4：3÷7商的小数点后面第2002个数字是几？3÷7＝0.42857142⋯⋯，商是一个循环小数，循环节是“428571”，循环周期是6，即4，2，8，5，7，1这个数字在依次循环出现，现求小数点后第2002个数字是几，就看按6个数字循环一次，共循环几次，余下几个数，从而确定。3÷7＝0.4285712002÷6＝333⋯4所以3÷7商的小数点后面第2002个数字是5，例5：学习好学习好学习⋯⋯是好孩子是好孩子⋯⋯上表中，将每列上下两个汉字组成一组，那么，第652组是什么？分析与解：根据表格，上一行3个汉字循环出现，也即3个汉字为一周期循环节，652÷3＝217⋯⋯1，所以第652组第1个字应是“学”，下一行是4个汉字循环出现，也即4个汉字为一循环节，652÷4＝163，即652组第2个字为“子”，所以第652组是（学子）。例6：36÷37商的小数点后面185个数字和是多少？分析与解：计算36÷37＝0.432432⋯⋯它的周期是3，按4、3、2循环出现，小数点后185个数字按“4、3、2”重复了多少次呢？余几？即185÷3＝61⋯⋯2，即重复了61次，还余2个数字，即4、3，重复一次和是4+3+2＝9，重复了61次，9×61＝549，再加上余下的2个数字，549+4+3＝556，即36÷37商的小数点后面185个数字和是556。四、自我测...
