定积分典型例题20例标准答案VIP免费

1/6定积分典型例题20例答案例1求33322321lim(2)nnnnn．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解将区间[0,1]n等分，则每个小区间长为1ixn，然后把2111nnn的一个因子1n乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即33322321lim(2)nnnnn=333112lim()nnnnnn=13034xdx．例22202xxdx=_________．解法1由定积分的几何意义知，2202xxdx等于上半圆周22(1)1xy(0y)与x轴所围成的图形的面积．故2202xxdx=2．解法2本题也可直接用换元法求解．令1x=sint（22t），则2202xxdx=2221sincosttdt=22021sincosttdt=2202costdt=2例3（1）若22()xtxfxedt，则()fx=___；（2）若0()()xfxxftdt，求()fx=___．分析这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可()()()[()]()[()]()vxuxdftdtfvxvxfuxuxdx．解（1）()fx=422xxxee；（2）由于在被积函数中x不是积分变量，故可提到积分号外即0()()xfxxftdt，则可得()fx=0()()xftdtxfx．例4设()fx连续，且310()xftdtx，则(26)f=_________．解对等式310()xftdtx两边关于x求导得32(1)31fxx，故321(1)3fxx，令3126x得3x，所以1(26)27f．2/6例5函数11()(3)(0)xFxdtxt的单调递减开区间为_________．解1()3Fxx，令()0Fx得13x，解之得109x，即1(0,)9为所求．例6求0()(1)arctanxfxttdt的极值点．解由题意先求驻点．于是()fx=(1)arctanxx．令()fx=0，得1x，0x．列表如下：故1x为()fx的极大值点，0x为极小值点．例7已知两曲线()yfx与()ygx在点(0,0)处的切线相同，其中2arcsin0()xtgxedt，[1,1]x，试求该切线的方程并求极限3lim()nnfn．分析两曲线()yfx与()ygx在点(0,0)处的切线相同，隐含条件(0)(0)fg，(0)(0)fg．解由已知条件得200(0)(0)0tfgedt，且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知2(arcsin)20(0)(0)11xxefgx．故所求切线方程为yx．而3()(0)3lim()lim33(0)330nnffnnffnn．例8求22000sinlim(sin)xxxtdttttdt；分析该极限属于00型未定式，可用洛必达法则．解22000sinlim(sin)xxxtdttttdt=2202(sin)lim(1)(sin)xxxxxx=220()(2)limsinxxxx=304(2)lim1cosxxx=2012(2)limsinxxx=0．注此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．x(,0)0(0,1)1(1,)()fx-0＋0－3/6例9试求正数a与b，使等式20201lim1sinxxtdtxbxat成立．分析易见该极限属于00型的未定式，可用洛必达法则．解20201limsinxxtdtxbxat=220lim1cosxxaxbx=22001limlim1cosxxxbxax201lim11cosxxbxa，由此可知必有0lim(1cos)0xbx，得1b．又由2012lim11cosxxxaa，得4a．即4a，1b为所求．例10设sin20()sinxfxtdt，34()gxxx，则当0x时，()fx是()gx的（）．A．等价无穷小．B．同阶但非等价的无穷小．C．高阶无穷小．D．低阶无穷小．解法1由于22300()sin(sin)coslimlim()34xxfxxxgxxx2200cossin(sin)limlim34xxxxxx22011lim33xxx．故()fx是()gx同阶但非等价的无穷小．选B．解法2将2sint展成t的幂级数，再逐项积分，得到sin223370111()[()]sinsin3!342xfxttdtxx，则344340001111sin(sin)sin()1342342limlimlim()13xxxxxxfxgxxxx．例11计算21||xdx．分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解21||xdx＝0210()xdxxdx＝220210[][]22xx＝52．注在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如33222111[]6dxxx，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x在0x处间断且在被积区间内无界.例12设()fx是连续函数，且10()3()fxxftdt，则()________fx．4/6分析本题只需要注意到定积分()bafxdx是常数（,ab为常数）．解因()fx连续，()fx必可积，从而10()ftdt是常数，记10()ftdta，则()3fxxa，且1100(3)()xadxftdta．所以2101[3]2xaxa，即132aa，从而14a，所以3()4fxx．例13计算2112211xxdxx．分析由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．解2112211xxdxx=211112221111xxdxdxxx．由于22211xx是偶函数，而211xx是奇函数，有112011xdxx,于是2112211xxdxx=2102411xdxx=22120(11)4xxdxx=11200441dxxdx由定积分的几何意义可知...