弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响摘要：从能量的观点出发，通过对有弹簧质量弹簧振子的振动实验进行研究，分析弹簧振子振动周期与弹簧质量的关系。关键词：弹簧振子；弹簧质量；振动周期振动作为自然界中最为普遍的运动形式之一,在物理学的基础理论研究中具有显著地位,正确理解与掌握振动的客观规律对于深入研究并掌握自然界的普遍运动规律具有十分重要的理论意义和实践意义。作为自然界各种振动形式中最简单的一个抽象物理模型——简谐振子,由一质量为m的质点和一劲度系数为k的无质量理想弹簧所组成,其振动周期为2mTk(1)在高中和大学物理中，弹簧质量对振动的影响往往被忽略。显然，这在弹簧质量远小于振子质量的情况下是可行的。但在一些实际问题中，人们往往会用弹簧的有效质量来对理想的弹簧振子振动周期公式进行修正。查阅相关资料可知，由机械能守恒定律计算出有效质量为031m（其中0m为弹簧质量）；进一步由质心运动定理却得出有效质量为021m，从而得到“弹簧振子佯谬”；而利用数值计算解超越方程的方法，得出“有效质量随振子与弹簧质量比的增大而减小”，“当振子与弹簧质量比较大时，有效质量可小于031m”，“不能简单地认为有效质量介于031m和021m之间”等结论。理论繁杂冗乱，令人眼花缭乱。本文通过对弹簧振子垂直地面放置的模型进行分析，并通过解微分方程，得出最终的周期公式。考虑弹簧质量时弹簧振子的振动周期（弹簧与地面垂直情况）查阅资料可知，弹簧振子的周期T与劲度系数k、振子质量m有关，在弹簧质量不可忽略时，还要考虑弹簧自身质量0m的影响，则弹簧振子的振动周期公式可写为：kCmmT02(2)式中0Cm即为弹簧的有效质量，C为待定系数，在下文中称为“有效质量系数”。为了验证该公式并分析在弹簧与地面垂直情况下有效质量系数的大小，可以对该模型进行进一步分析。设弹簧质量为M，劲度系数为k，振动物体质量为m，在平衡位置时弹簧长度为L，平衡时弹簧的拉伸量为x2，此时由于受力平衡，则20kxmgMg，则2mgMgkx。假定弹簧各截面的位移按线性规律变化，从弹簧的固定点P向下取一点Y（取PY=y，y《=L+x），并在此处截取一小位移元dy，则()dydLxdxyLxLx，即dxdyyLx，如图所示。振动物体重力势能为1pEmgx；振动物体动能为211()2kdxEmdt。令MLx，y+dy处的动能为22211()()22kdyydxdEdMdydtLxdt，整个弹簧动能为22201()()26LxkydxMdxEdyLxdtdt。因弹簧质心下移12x，则弹簧的重力势能为212pEMgx，弹簧的弹性势能为2321()2pEkxx。将振动系统和地球作为一个整体且不考虑各种阻力影响，由机械能守恒定律得22224111()()()2622dxMdxmmgxMgxkxxCdtdt对上式整理并对t求导，得222dxxqdt，其中23kMm，23MqgMm，其中3kMm由此得232MmTk。实验探究：考虑弹簧质量时弹簧振子的振动周期本学期物理实验课程中有“探究弹簧振子周期公式”的实验，利用该实验的实验器材和实验方法，可以进一步探究和验证理论得到的结果。实验中采用SP-2型弹簧振子实验仪测量弹簧的质量和周期；用MP2002型电子天平校准各砝码和弹簧的质量。实验中使用的砝码和弹簧情况如下：砝码：共6只，编号0、1、2、3、4、5。质量分别为19.32g、50.82g、55.22g、60.12g、64.84g、69.37g。弹簧：共10根，质量从小到大编号为1~10，其质量和劲度系数如表1所示。表1弹簧的固有参数弹簧编号12345678910弹簧质量m0/g3.113.835.045.526.507.888.169.5311.3611.71劲度系数k/(N/m)6.7615.0183.8777.3726.3585.1554.9254.2173.4653.444表2振子的振动周期砝码编号砝码质量m/g弹簧周期T/s弹簧编号12345678910150.820.55060.64130.73060.53480.57770.64510.65590.71170.79000.7911255.220.57250.66840.75990.55770.59990.67150.68210.73940.82050.8221360.120.59620.69550.79210.58030.62510.69790.71040.77010.85450.8555464.840.61950.72050.82070.60130.64810.72470.73630.79820.88480.8862569.370.63970.74480.84820.62110.67030.74770.75910.82420.91410.9149振动周期的测定，采用累计法测50次求得，并且测量3组取平均值，具体方法可参见钱峰主编的《大学物理实验》教材，实验中测得的振动周期如表2所示。式（2）中C值反映了弹簧质...
