数列综合求和综述VIP免费

（一）方法技巧方法一：通项常见的求法。1.观察法例1.写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：（1）9910,638,356,154,32，⋯；（2）9933,6317,359,31,1，⋯；（3）0,71,0,51,0,31,0,1，⋯；（4）7，77，777，7777，⋯；（5）1，3，6，10，15，⋯；（6）a，b，a，b，⋯。解析：（1）这是一个分数数列，分子为偶数列，而分母为119,97,75,53,31，⋯，是两个连续奇数的积，故所求数列通项公式为：)1n2)(1n2(n2an（2）数列的前5项可改写为：11933,9717,759,535,313由于数列的各项间正负互相间隔，应有调节符号作用的数列n)1(，分子构成规律为12n，分母也为两个连续奇数的积。)1n2)(1n2(12)1(annn（3）原数列直接写不能看出通项公式，但改写之后，60,51,40,31,20,11，分母依次为1，2，3，4，⋯，分子为1，0，-1，0，呈周期性变化，可以用2nsin表示，当然也可以用21ncos表示。n21ncosan2nsinann或（4）先研究数列9，99，999，9999，⋯数列中的每一项均可以看作是10的若干次幂与1的差，则通项为110ann∴该数列的通项应为)110(97ann其实这是一个规律性的问题：如数列2，22，222，2222，⋯的通项公式应为)110(92ann等等。（5）由观察可知，54321a,4321a,321a,21a,1a54321∴2)1n(nn321an此题亦可这样考虑：4aa3aa2aa342312⋯⋯，naa1nn以上1n个式子左边相加为n432aa1n又1a1∴n321an2)1n(n（6）这是摆动数列。要寻找摆动平衡位置与摆动的振幅。平衡位置：2ba，振幅：2ab，用1nn11或去调节，则所求数列的通项公式2ab)1(2baann也可以用分段函数形式来表示为偶数为奇数n,bn,aan2.累差法例2.已知数列na的前几项依次是：6，9，14，21，30，⋯，求其通项公式。解析：设n1nnaab，则有71421aab5914aab369aab343232121⋯⋯，1n2aab1nn1n以上各式相加得：1n2)1n23)(1n()1n2(53aa21n又6a1∴5n1naa221n3.待定系数法例3.已知{an}为等差数列，23a,3a62，求an。解析： {an}为等差数列，故可设pknan又23a,3a62∴pk623pk23解得7p5k∴7n5an4.公式法例4.如果数列na的前n项和为3a23Snn，求这个数列的通项公式na。解析：（1）当n=1时，由6aa3a23S1111（2）当2n时，3aaa23a23SSa1nn1nn1nnn∴数列na当2n时，是以3为公比，以18a2为首项的等比数列∴)2n(323183aan2n1n2n而当n=1时，显然也成立故)Nn(32a*nn5.叠代法例5.已知1a,a1nna1n1n，求数列na的通项公式na。解析： n1na1nna∴3n2n1nna2n3n1n2nn1na1n2nn1nan1na⋯11an1a212n3n1n2nn1n a1=1∴n1an方法二：解递推关系式常见方法1.公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。常用的公式有)2n(SSa1nnn，等差数列和等比数列的通项公式。2.归纳法：由数列前几项用不完全归纳法猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性。这种方法叫做归纳法。3.累加法：利用恒等式)aa()aa(aa1nn121n求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如)n(faan1n的递推数列通项公式的基本方法（其中数列{f(n)}可求前n项和）。4.累乘法：利用恒等式)0a(aaaaaaaan1nn23121n求通项公式的方法称为累乘法。累乘法是求型如n1na)n(ga的递推数列通项公式的基本方法（数列g{n}可求前n项积）。例1.设na是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与1的等差中项等于Sn与1的等比中项，求数列na的通项公式。解析：解法一：（公式法）依题意，有4)1a(S2nn∴n1n1nSSa2n21n)1a()1a(41∴0)1a()1a(2n21n即0)2aa)(aa(n1nn1n 0an∴2aan1n又a1=1故na是首项为1，公差为2的等差数列∴1n2an解法二：（公式法） nnS21a∴1aS11当2n时，1SSS21nnn即01SS1SS1nn1nn 1S,0a1n∴)2n(1SS1nn∴nSn从而1n21S2ann解法三：（归纳法）由已知可求得5a,3a,1a321猜测1n2an证明：（1）当n=1时，1112,1Sa11∴n=1时，猜想成立（2）假设)Nk,1k(kn*时，猜想成立，即1k2ak，则1kn时 4)1a(4)1a(SSa2k21kk1k1k∴k1k2k1k21ka2a2aaa4∴0)2aa()aa(k1kk1k 0an∴0aak1k∴2aak1k∴1)1k(22)1k2(a1k即n=k+1时，猜想也成立。综合以上可知，对任意*Nn有1n2an例2.已知数列na中，*n1n1Nn,n2aa,2a，求an。解析：（累加法） n2aan1n∴n2aan1n∴)aa()aa()aa(aa1nn23121n2nn2)2n22)(1n(2)1n(264222例3.已...