数学模型数学建模案例分析1线性代数在数学建模中的应用举例1基因间“距离”的表示在ABO血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。如果我们把四种等位基因A1，A2，B，O区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1。表1.1基因的相对频率爱斯基摩人f1i班图人f2i英国人f3i朝鲜人f4iA10.29140.10340.20900.2208A20.00000.08660.06960.0000B0.03160.12000.06120.2069O0.67700.69000.66020.5723合计1.0001.0001.0001.000问题一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。解有人提出一种利用向量代数的方法。首先，我们用单位向量来表示每一个群体。为此目的，我们取每一种频率的平方根，记kikifx.由于对这四种群体的每一种有141ikif，所以我们得到4121ikix.这意味着下列四个向量的每个都是单位向量.记.44434241,34333231,24232221,141312114321xxxxaxxxxaxxxxaxxxxa数学模型数学建模案例分析2在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为1的球面上.现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.如果我们把a1和a2之间的夹角记为θ，那么由于|a1|=|a2|=1，再由内只公式，得21cosaa而.8307.03464.02943.03216.0,8228.01778.00000.05398.021aa故9187.0cos21aa得2.23°.按同样的方式，我们可以得到表1.2.表1.2基因间的“距离”爱斯基摩人班图人英国人朝鲜人爱斯基摩人0°23.2°16.4°16.8°班图人23.2°0°9.8°20.4°英国人16.4°9.8°0°19.6°朝鲜人16.8°20.4°19.6°0°由表1.2可见，最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离”，而爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大.2Euler的四面体问题问题如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由Euler（欧拉）提出的.解建立如图2.1所示坐标系，设A，B，C三点的坐标分别为（a1,b1,c1）,(a2,b2,c2)和（a3,b3,c3），并设四面体O-ABC的六条棱长分别为.,,,,,rqpnml由立体几何知道，该四面体的体积V等于以向量OCOBOA,,组成右手系时，以它们为棱的平行数学模型数学建模案例分析3六面体的体积V6的16.而.3332221116cbacbacbaOCOBOAV于是得.6333222111cbacbacbaV将上式平方，得.362323233232323231313232322222221212131313121212121212133322211133322211122cbaccbbaaccbbaaccbbaacbaccbbaaccbbaaccbbaacbacbacbacbacbacbacbaV根据向量的数量积的坐标表示，有.,,,,232323323232222222313131212121212121cbaOCOCccbbaaOCOBcbaOBOBccbbaaOCOAccbbaaOBOAcbaOAOA于是.362OCOCOCOBOCOAOCOBOBOBOBOAOCOAOBOAOAOAV（2.1）由余弦定理，可行.2cos222nqpqpOBOA同理.2,2222222lrqOCOBmrpOCOA将以上各式代入（2.1）式，得数学模型数学建模案例分析4.222222362222222222222222222222rlrpmrplrppnqpmrpnqppV（2.2）这就是Euler的四面体体积公式.例一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得六条棱长分别为l=10m,m=15m,n=12m,p=14m,q=13m,r=11m.则.952222,462222,5.1102222lrpmrpnqp代入（2.1）式，得.75.13698291219546951695.110465.110196236V于是.)195(82639.38050223mV即花岗岩巨石的体积约为195m3.古埃及的金字塔形状为四面体，因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔的体积.3动物数量的按年龄段预测问题问题某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0～5岁；第二组，6～10岁；第三组，11～15岁.动物从第二年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为4和3.第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为12和14.假设农场现有三个年龄段的动物各100头，问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？问题分析与建模因年龄分组为5岁一段，故将时间周期也取为5年.15年后就经过了3个时间周期.设)(kix表示第k个时间周期的第i组年龄阶段动物的数数学模型数学建模案例分析5量（k=1，2，3；i=1，2，3）.因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上一时间周期上一年龄组存活下来动物的数量，所以有).3,2,1(41,21)1(2)(3)1(1)(2kxxxxkkkk又因为某一时间周期，第一年龄组动物的数量是由于...
