等腰三角形直角三角形存在性问题典例1,如图，二次函数""八'的图象与X轴交于点A、B两点，且A点坐标为=：，与y轴交于点⑴求出这个二次函数的解析式；⑵直接写出点B的坐标为⑶在x轴是否存在一点P,使&是等腰三角形？若存在,求出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由；(4)在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q,使得四边形ABQC的面积最大?若存在,请求出Q点坐标及面积的最大值;若不存在,请说明理由.⑶解:在陪3"中，.A0=20C=3:,AC=V13///，①当HA=AC时旧在x轴的负半轴),Pl("2-皿卫)；②当P2A=AC时厲在x轴的正半轴)严(皿-缶0)；③当P^C=AC时旧在x轴的正半轴)严⑵叫④当PQ=P祖时厲在x轴的正半轴)，在用△P&C中，设RO=工,则@+纾=护+3：5解得:r,4・/答:在X轴存在一点巳使^ACP是等腰三角形，满足条件的P点坐标是S-忌®5或(V/13-2J.0或仏丽或(4°\1“、(T汩抄=_〒旷+霑+3(4)解:如图，设Q点坐标为丿，因为点Q在4上，(J?,--T2+ir+3)即:Q点坐标为4,连接OQS四边形ABQC=S^AOC+SMQC+S“EQ/=3+11+3(-i+T+3)3*9=--x~+-x+\2/*<0f,£荷…buy边形A&托值-~rf(3.—)Q点坐标为4,答:在第一象限中的抛物线上存在一点Q,使得四边形ABQC的面积最大,Q点坐标(3当世是"，面积的最大值是4.⑷设Q点坐标为'；，因为点Q在4上，得出Q点坐标为解析:⑴因为■1"r1■'的图象经过-代入求出c、a的值,即可得到答案；⑵把代入求出x的值，即可得到答案；⑶在:V叮中根据勾股定理求出AC,根据等腰三角形的性质求出，①当■"'-V时一：在x轴的负半轴）,几；d?;②当「：：■-=时’在x轴的正半轴）,股而-叩;③当P^=AC时厲在x轴的正半轴）戶⑵叫④当皿=阳时迅在x轴的正半轴），-，即可得出答案；1,连接0Q,根据s四边^ABQC=S^AOC+SAOQG+S^0BQ，代入求出即可.本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的判定，三角形的面积，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键题型较好，综合性强.练习：如图，已知抛物线“z亦与x轴交于点-Jl：和点B—（3,0）,与y轴交于点c.⑴求抛物线的解析式；⑵设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使一"A为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由'其对称轴为或〔点坐标为:当1'''■'■'点坐标为:③当°’"P时，由勾股定理得:所求抛物线解析式为:⑵抛物线解析式为:设P点坐标为①当「于W时：-y典例2,0如图*拋物线工一3与J7轴交于A、E两点柱丹的左边人口伙轴交于点D+在抛物线上是否存在一点Z便得△屋DP是直常三角形？若存在“谕求出点P的坐标卡若不存在，请说明理由.'点坐标为:汽j心综上所述存在符合条件的点P,其坐标为八二:或厂ii:或’宀或「解析：(1)已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；(2)可根据(1)的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为……’,根据M、C的坐标可求出CM的距离.然后分三种情况进行讨论：①当("厂P_\I时,p位于CM的垂直平分线上•求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作冗丄购轴于Q,如果设Pbf=CP=X，那么直角三角形CPQ中CP=T,OM的长,可根据M的坐标得出—"—；，因此可根据勾股定理求出x的值,P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x,由此可得出P的坐标.②当(M时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标(要注意分上下两点).③当V(F时，因为C的坐标为''，那么直线m必垂直平分PM,因此P的纵坐标是6,由此可得出P的坐标；本题主要考查了二次函数的综合知识，要注意的是(2)中,不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解.~T~5=fl.,r=❹由*=—r-|-4.r-3=-(.?—])(r-3).A(\.0)L凤:时0).所以CJH=NO=乩BD与世标轴的死和为槪：设点P的坐标为[斗一上:+心一3人△HOP狂直刑—：常膽分三种情况讨论！①如图1严ZPBD=&0alH，ZPBf；=45\所以PH-BH.解方理一十十4一3=3—八得」=趴或.「=IK耳B血合冷去)*此时円2・lk©血罔農呷"阳=曲"时・乂卩"胡帖S所以PM二【肘、解方程才・-3-<-^+4x-3)s得疋=5,或工=Q(与DIKO•停瓷h此时巩九S),PEDF...
