函数的单调性与导数 (2)VIP免费

1．3导数在研究函数中的应用1．3.1函数的单调性与导数第一章导数及其应用学习导航学习目标1.了解函数的单调性与导数的关系．2．利用导数研究函数的单调性．(重点、难点)3．求函数(其中多项式函数一般不超过三次)的单调区间．(重点)学法指导结合函数图象(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系，体会数形结合思想，以直代曲思想.第一章导数及其应用栏目导引栏目导引第一章导数及其应用1．利用导数的符号判断函数的单调性一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)＞0单调递_____________f′(x)＜0单调递_____________f′(x)＝0常函数增减栏目导引栏目导引第一章导数及其应用注意：若在某区间内有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)＞0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形类似)．也就是说，在某区间内f′(x)＞0是f(x)在此区间内为增函数的充分条件，而不是必要条件．栏目导引栏目导引第一章导数及其应用2．函数值变化快慢与图象的关系函数值增加得越来越快f′x＞0且越来越大函数值增加得越来越慢f′x＞0且越来越小函数值减小得越来越快f′x＜0且越来越小函数值减小得越来越慢f′x＜0且越来越大栏目导引栏目导引第一章导数及其应用1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，则f′(x)＞0.()(2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓”．()2．函数f(x)＝x2＋x在(0，＋∞)上为()A．减函数B．增函数C．常数函数D．不能确定××B栏目导引栏目导引第一章导数及其应用3．函数f(x)＝x3－3x2＋1是减函数的区间为()A．(2，＋∞)B．(－∞，2)C．(－∞，0)D．(0,2)4．函数y＝x2－4x＋a的增区间为___________，减区间为____________．D(2，＋∞)(－∞，2)栏目导引栏目导引第一章导数及其应用函数与函数的图像设f′(x)是函数f(x)的导数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是选项中的()栏目导引栏目导引第一章导数及其应用[解析]由y＝f′(x)的图象得：当－1＜x＜1时，f′(x)＞0，所以y＝f(x)在(－1,1)上单调递增．因为当x＜－1和x＞1时，f′(x)＜0，所以y＝f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上分别单调递减．综合选项得只有B正确．栏目导引栏目导引第一章导数及其应用方法归纳研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素：对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．栏目导引栏目导引第一章导数及其应用1．已知导函数f′(x)的下列信息：当1＜x＜4时，f′(x)＞0；当x＞4或x＜1时f′(x)＜0；当x＝4或x＝1时f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状．(链接教材P24例1)栏目导引栏目导引第一章导数及其应用解：当1＜x＜4时，f′(x)＞0,可知f(x)在此区间内单调递增；当x＞4，或x＜1时，f′(x)＜0，可知f(x)在这两个区间内单调递减；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示．栏目导引栏目导引第一章导数及其应用判断(或证明)函数的单调性[证明] f(x)＝ex＋1ex，∴f′(x)＝ex－e－x＝e－x(e2x－1)，当x∈(0，＋∞)时，由指数函数的性质知e－x＞0，e2x＞1，∴f′(x)＞0，因此函数f(x)＝ex＋1ex在(0，＋∞)上是增函数．证明：f(x)＝ex＋1ex在(0，＋∞)上是增函数．栏目导引栏目导引第一章导数及其应用方法归纳利用导数证明或判断函数单调性函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)＜0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．栏目导引栏目导引第一章导数及其应用2．证明函数f(x)＝lnxx在区间(0,2)上是单调递增函数．证明： f(x)＝lnxx，∴f′(x)＝lnx′x－lnx·x′x2＝1x·x－lnxx2＝1－lnxx2.又 x∈(0,2)，∴lnx＜ln2＜1.故f′(x)＝1－lnxx2＞0.即函数在区间(0,2)上是单调递增函...