2013届高选修4-4坐标系与参数方程第1讲坐标系）VIP专享VIP免费

第1讲坐标系【2013年高考会这样考】考查极坐标与直角坐标的互化以及有关圆的极坐标问题．【复习指导】复习本讲时，要抓住极坐标与直角坐标互化公式这个关键点，这样就可以把极坐标问题转化为直角坐标问题解决，同时复习以基础知识、基本方法为主．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ或3．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；(3)直线过Mb，π2且平行于极轴：ρsinθ＝b.4．圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝；(3)当圆心位于Ma，π2，半径为a：ρ＝.2acos_θ2asin_θ双基自测1．点P的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为________．解析直接利用极坐标与直角坐标的互化公式．答案2，3π42．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．解析 ρ＝2sinθ＋4cosθ，∴ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ.∴x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－2y－4x＝0.答案x2＋y2－4x－2y＝04．在极坐标系中，直线l的方程为ρsinθ＝3，则点2，π6到直线l的距离为________．解析 直线l的极坐标方程可化为y＝3，点2，π6化为直角坐标为(3，1)，∴点2，π6到直线l的距离为2.答案25．(2011·广州调研)在极坐标系中，直线ρsinθ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．解析由ρsinθ＋π4＝2，得22(ρsinθ＋ρcosθ)＝2可化为x＋y－22＝0.圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，由圆中的弦长公式得：2r2－d2＝242－2222＝43.答案43考向一极坐标和直角坐标的互化【例1】►(2011·广州测试(二))设点A的极坐标为2，π6，直线l过点A且与极轴所成的角为π3，则直线l的极坐标方程为________________．[审题视点]先求直角坐标系下的直线方程再转化极坐标方程．(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．【训练1】(2011·佛山检测)在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，－3)．若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是________．解析由极坐标与直角坐标的互化公式ρcosθ＝x，ρsinθ＝y可得，ρcosθ＝1,ρsinθ＝－3，解得ρ＝2，θ＝2kπ－π3(k∈Z)，故点P的极坐标为2，2kπ－π3(k∈Z)．答案2，2kπ－π3(k∈Z)考向二圆的极坐标方程的应用【例2】►(2011·广州测试)在极坐标系中，若过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cosθ于A、B两点，则|AB|＝________.[审题视点]先将直线与曲线的极坐标方程化为普通方程，再利用圆的知识求|AB|.解析注意到在极坐标系中，过点(1,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是x＝1，曲线ρ＝4cosθ的直角坐标方程是x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，圆心(2,0)到直线x＝1的距离等于1，因此|AB|＝24－1＝23.答案23解决此类问题的关键还是将极坐标方程化为直角坐标方程．【训练2】(2011·深圳调研)在极坐标系中，P，Q是曲线C：ρ＝4sinθ上任意两点，则线段PQ长度的最大值为________．解析由曲线C：ρ＝4sinθ，得ρ2＝4ρsinθ，x2＋y2－4y＝0，x2＋(y－2)2＝4，即曲线C：ρ＝4sinθ在直角坐标系下表示的是以点(0,2)为圆心、以2为半径的圆，易知该圆上的任意两点间的距离的最大值即是圆的直径长，因此线段PQ长度的最大值是4.答案4考向三...