生活中的优化问题举例VIP免费

1.4生活中的优化问题举例一、如何判断函数的单调性？f(x)为增函数f(x)为减函数设函数y=f(x)在某个区间内可导，二、如何求函数的极值与最值？求函数极值的一般步骤（1）确定定义域（2）求导数f′(x)（3）求f′(x)=0的根（4）列表（5）判断求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤(1)求f(x)在区间(a,b)内极值；(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b）比较,从而确定函数的最值生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题.1.了解导数在实际问题中的应用；2.对给出的实际问题，如使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体会导数在解决实际问题中的作用；3.利用导数知识解决实际中的最优化问题；（重点）4.将实际问题转化为数学问题，建立函数模型.（难点）探究点1海报版面尺寸的设计例1学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？图3.4-1分析：已知版心的面积，你能否设计出版心的高，求出版心的宽，从而列出海报四周的面积来？xx设为则宽为时积为128版心的高dm,版心的dm,此四周空白面解:128()(4)(2)128Sxxx51228,0xxx'2512()2Sxx求,得导数2512()20Sxx令：'1616xx，解得：（舍）'0,160xsx当时，；128128816x于是：宽为'16,0.xsx当时，因此，x=16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点.所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小.你还有其他解法吗？例如用基本不等式行吗？解法二：由解法(一)得512512()28228Sxxxxx232872512,16(0)xxxSx当且仅当2即时取最小值128x时128此==816应宽为为报积答：使用版心8dm，16dm，四周空白面最小.高海2.在实际应用题目中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点x0，则不需与端点比较，f(x0)即是所求的最大值或最小值.总结提升1.设出变量找出函数关系式；确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义.(所说的区间也适用于开区间或无穷区间)规格（L）0.61.252价格（元）2.54.55.1探究点2饮料瓶大小对饮料公司利润的影响例2下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8r2分，其中r是瓶子的半径(单位:cm)，已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm，问题：(１)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？324πr(r)0.20.8πr3yf解：由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润为：(0r6)2'(r)0.8π(r2r)0f令，r2,'(r)0.f当时r(0,2),'(r)0;f当时r(2,6),'(r)0.f当时r(0，2)2(2，6]f'(r)0f(r)-+减函数↘增函数↗-1.07因此，当r>2时，f′(r)>0,它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当r<2时，f′(r)<0,它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低.Ⅰ.半径为2cm时，利润最小,这时f(2)<0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值；Ⅱ.半径为6cm时，利润最大.ryo32r()0.8π(r)3fr23从图中，你还能看出什么吗？当0＜r＜3时，利润为负值；当r＝3时，利润为零；当r＞3时，利润为正值，并随着瓶子半径的增大利润也相应增大.Rr例3磁盘的最大存储量问题计算机把信息存储在磁盘上.磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角分割所成的扇形区域.磁道上的定长弧可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常称为比特（bit）.Rr为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必须大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n.为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有...