正弦定理余弦定理应用举例VIP免费

3．8正弦定理、余弦定理应用举例考点梳理1．仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线______时叫仰角，目标视线在水平视线______的叫俯角．(如图所示)上方下方2．方位角一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45°，是指____________，即东北方向．3．坡角坡面与__________的夹角．(如图所示)4．坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i＝hl＝tanα(i为坡比，α为坡角)．北偏东45°水平面考点自测1.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α、β的关系为()A．α＞βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°解析：如图所示，从A处望B处和从B处望A处视线均为AB.而α，β同为AB与水平线所成的角，因此α＝β.答案：B2．如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是()A．α，a，bB．α，β，aC．a，b，γD．α，β，b解析：选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似，故选A.答案：A3．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°解析：由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°.∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°.答案：B4．在200m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为__________m.解析：如图所示，设塔高为hm.由题意及图可知：(200－h)·tan60°＝200tan60°解得：h＝4003m.答案：40035．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始________h后，两车的距离最小．解析：如图所示，设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD＝80t，BE＝50t.因为AB＝200，所以BD＝200－80t，问题就是求DE最小时t的值．由余弦定理：DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos60°＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t＝12900t2－42000t＋40000.当t＝7043时，DE最小．答案：7043疑点清源1.解三角形的一般步骤(1)分析题意，准确理解题意．分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等．(2)根据题意画出示意图．(3)将需要解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答．(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍．2．解斜三角形实际应用举例(1)常见几种题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．(2)解题时需注意的几个问题①要注意仰角、俯角、方位角等名词，并能准确地找出这些角；②要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解决.题型探究题型一测量距离问题例1要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距3km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．解析：如图所示在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝3km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝3sin75°sin60°＝6＋22.△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(3)2＋6＋222－2×3×6＋22×cos75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB＝5(km)．∴A、B之间的距离为5km.点评：求距离问题要注意：①选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．②确定正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．变式探究1某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上B处有一人正沿此公路向A处走，走20千米到达D，此时测得CD为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？解析：如图所示，易知∠CAD＝25°＋35°＝60°，在△BCD中，...