四川省南江四中高一数学初高中衔接教材：相似形我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？例5如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，BACCDBÐ=Ð，求证：DACCBDÐ=Ð.证明在OABV与ODCV中，,,AOBDOCOABODCÐ=ÐÐ=Ð\OABV∽ODCV，OAOBODOC\=，即OAODOBOC=.又OADV与OBCV中，AODBOCÐ=Ð，\OADV∽OBCV，\DACCBDÐ=Ð.例6如图,在直角三角形ABC中，BACÐ为直角，ADBCD^于.求证：（1）2ABBDBC=×，2ACCDCB=×；（2）2ADBDCD=×证明（1）在RtBACV与RtBDAV中，BBÐ=Ð，BAC\V∽BDAV，2,.BABCABBDBCBDBA\==×即同理可证得2ACCDCB=×.（2）在RtABDV与RtCADV中，90oCCADBADÐ=-Ð=Ð，RtABD\V∽RtCADV，2,.ADDCADBDDCBDAD\==×即我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用.用心爱心专心1例7在ABCV中，,,ADBCDDEABEDFACF^^^于于于，求证：AEABAFAC×=×.证明ADBC^Q，\ADBV为直角三角形，又DEAB^，由射影定理，知2ADAEAB=×.同理可得2ADAFAC=×.AEABAFAC\×=×.例8如图3.1-14，在ABCV中，D为边BC的中点，E为边AC上的任意一点，BE交AD于点O.某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：（1）当11211AEAC==+时，有22321AOAD==+.（如图a）（2）当11312AEAC==+时，有22422AOAD==+.（如图b）（3）当11413AEAC==+时，有22523AOAD==+.（如图c）在图3.1-14d中，当11AEACn=+时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示AOAD的一般结论，并给出证明（其中n为正整数）.用心爱心专心2例7图例8图解：依题意可以猜想：当11AEACn=+时，有22AOADn=+成立.证明过点D作DF//BE交AC于点F，QD是BC的中点，\F是EC的中点，由11AEACn=+可知1AEECn=，22,.2AEAEEFnAFn\==+.2.2AOAEADAFn\==+想一想，图3.1-14d中，若1AOADn=，则?AEAC=本题中采用了从特殊到一般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发现一些规律，进而作出一般性的猜想，然后加以证明或否定.数学的发展史就是不断探索的历史.练习：1．如图，D是ABCV的边AB上的一点，过D点作DE//BC交AC于E.已知AD：DB=2：3，则:ADEBCDESSV四边形等于（）A．2:3B．4:9C．4:5D．4:212．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别是__________.3．已知：ABCV的三边长分别是3，4，5，与其相似的'''ABCV的最大边长是15，求'''ABC的面积'''ABCSV.4．已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.（1）请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由；（2）若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD满足什么条件时，EFGH是菱形？是正方形？用心爱心专心35．如图,点C、D在线段AB上，PCDV是等边三角形，（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，ACPV∽PDBV？（2）当ACPV∽PDBV时，求APBÐ的度数.习题A组1．如图1，ABCV中，AD=DF=FB，AE=EG=GC，FG=4，则（）A．DE=1，BC=7B．DE=2，BC=6C．DE=3，BC=5D．DE=2，BC=82．如图2，BD、CE是ABCV的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则:PQBC等于（）A．1：3B．1：4C．1：5D．1：63．如图3，ABCDY中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，已知BE：AB=2：3，4BEFS=V，求CDFSV.图3用心爱心专心4图1图24．如图4，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BEAC^交AC于F，过F作FG//AB交AE于G，求证：2AGAFFC=×.图4B组1．如图，已知ABCV中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与CE相交于F，则EFAFFCFD+的值为（）A．12B．1C．32D．22．如图，已知ABCV周长为1，连结ABCV三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（）A．12002B．12003C．200212D．2003123．如图，已知M为ABCDY的边AB的中点，CM交BD于点E，则图中阴影部分的面积与ABCDY面积的比是（）A．13B．14C．16D．5124．如图，梯形ABCD中，AD//BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF//AD.（1）求证：OE=OF；（2）求OEOEADBC+的值；用心爱心专心5（3）求证：112ADBCEF+=.C组1．如图，ABCV中，P是边AB上一点，连结CP.（1）要使ACPV∽ABCV，还要补充的一个条件是____________.（2）若ACPV∽ABCV，...
