平面向量经典习题-提高篇VIP免费

平面向量：1.已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，若向量λa＋b与向量c＝(1，－2)共线，则实数λ等于()A．－2B．－C．－1D．－[答案]C[解析]λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)， λa＋b与c共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1.2.(文)已知向量a＝(，1)，b＝(0,1)，c＝(k，)，若a＋2b与c垂直，则k＝()A．－1B．－C．－3D．1[答案]C[解析]a＋2b＝(，1)＋(0,2)＝(，3)， a＋2b与c垂直，∴(a＋2b)·c＝k＋3＝0，∴k＝－3.(理)已知a＝(1,2)，b＝(3，－1)，且a＋b与a－λb互相垂直，则实数λ的值为()A．－B．－C.D.[答案]C[解析]a＋b＝(4,1)，a－λb＝(1－3λ，2＋λ)， a＋b与a－λb垂直，∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝.3.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、b间的夹角为()A．150°B．120°C．60°D．30°第1页共10页[答案]B[解析]如图，在▱ABCD中， |a|＝|b|＝|c|，c＝a＋b，∴△ABD为正三角形，∴∠BAD＝60°，∴〈a，b〉＝120°，故选B.(理)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a与b的夹角为60°，则|b|＝()A.B.C.D.[答案]A[解析] |a－b|＝，∴|a|2＋|b|2－2a·b＝， |a|＝1，〈a，b〉＝60°，设|b|＝x，则1＋x2－x＝， x>0，∴x＝.4.若AB·BC＋AB2＝0，则△ABC必定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形[答案]B[解析]AB·BC＋AB2＝AB·(BC＋AB)＝AB·AC＝0，∴AB⊥AC，∴AB⊥AC，∴△ABC为直角三角形．5.(文)若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－2,4)，则用a，b表示c为()第2页共10页A．－a＋3bB．a－3bC．3a－bD．－3a＋b[答案]B[解析]设c＝λa＋μb，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)，∴，∴，∴c＝a－3b，故选B.(理)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC＝a，BD＝b，则AF等于()A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b[答案]B[解析] E为OD的中点，∴BE＝3ED， DF∥AB，∴＝，∴|DF|＝|AB|，∴|CF|＝|AB|＝|CD|，∴AF＝AC＋CF＝AC＋CD＝a＋(OD－OC)＝a＋(b－a)＝a＋b.6.若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则AB·BC的值为()A．19B．14C．－18D．－19[答案]D[解析]据已知得cosB＝＝，故AB·BC＝|AB|×|BC|×(－cosB)＝7×5×＝－19.7.若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)相互垂直，则9x＋3y的最小值为(第3页共10页)A．12B．2C．3D．6[答案]D[解析]a·b＝4(x－1)＋2y＝0，∴2x＋y＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y≥2＝6，等号在x＝，y＝1时成立．8.若A，B，C是直线l上不同的三个点，若O不在l上，存在实数x使得x2OA＋xOB＋BC＝0，实数x为()A．－1B．0C.D.[答案]A[解析]x2OA＋xOB＋OC－OB＝0，∴x2OA＋(x－1)OB＋OC＝0，由向量共线的充要条件及A、B、C共线知，1－x－x2＝1，∴x＝0或－1，当x＝0时，BC＝0，与条件矛盾，∴x＝－1.9.(文)已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则AP·(AB＋AC)()A．最大值为8B．最小值为2C．是定值6D．与P的位置有关[答案]C[解析]以BC的中点O为原点，直线BC为x轴建立如图坐标系，则B(－1,0)，C(1,0)，A(0，)，AB＋AC＝(－1，－)＋(1，－)＝(0，－2)，设P(x,0)，－1≤x≤1，则AP＝(x，－)，∴AP·(AB＋AC)＝(x，－)·(0，－2)＝6，故选C.第4页共10页(理)在△ABC中，D为BC边中点，若∠A＝120°，AB·AC＝－1，则|AD|的最小值是()A.B.C.D.[答案]D[解析] ∠A＝120°，AB·AC＝－1，∴|AB|·|AC|·cos120°＝－1，∴|AB|·|AC|＝2，∴|AB|2＋|AC|2≥2|AB|·|AC|＝4， D为BC边的中点，∴AD＝(AB＋AC)，∴|AD|2＝(|AB|2＋|AC|2＋2AB·AC)＝(|AB|2＋|AC|2－2)≥(4－2)＝，∴|AD|≥.10.如图所示，点P是函数y＝2sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0)的图象的最高点，M，N是该图象与x轴的交点，若PM·PN＝0，则ω的值为()第5页共10页A.B.C．4D．8[答案]B[解析] PM·PN＝0，∴PM⊥PN，又P为函数图象的最高点，M、N是该图象与x轴的交点，∴PM＝PN，yP＝2，∴MN＝4，∴T＝＝8，∴ω＝.11.如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E、F两点，且交其对角线于K，其中AE＝AB，AF＝AD，AK＝λAC，则λ的值为()A.B.C.D.[答案]A[解析]如图，取CD的三等分点M、N，BC的...