北京第十八中学高三数学第一轮复习 59 等差数列与等比数列（1）教学案（教师版）VIP免费

教案59等差数列与等比数列（1）一、课前检测1.（2010年东城期末20）设数列的前项和为．已知，，．设，求数列的通项公式；解：依题意，，即，由此得．因此，所求通项公式为。二、知识梳理1.在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，，n中任意三个，可求其余两个。解读：2.补充的一条性质1）项数为奇数的等差数列有：，2）项数为偶数的等差数列有：，解读：3.等差数列的判定：{an}为等差数列即：；解读：4.三个数成等差可设：a，a＋d，a＋2d或a－d，a，a＋d；四个数成等差可设：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.解读：用心爱心专心15．等差数列与函数：1）等差数列通项公式与一次函数的关系：从函数的角度考查等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d=d·n+a1-d,an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.k=d=，d=，由此联想点列（n，an）所在直线的斜率.2）点在没有常数项的二次函数上。其中，公差不为0.解读：6.等差数列前n项和最值的求法（结合二次函数的图象与性质理解）1）若等差数列的首项，公差，则前项和有最大值。（ⅰ）若已知通项，则最大；（ⅱ）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最大；2）若等差数列的首项，公差，则前项和有最小值（ⅰ）若已知通项，则最小；（ⅱ）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最小。解读：7.等差数列的定义、通项公式、求和公式、性质等等差数列用心爱心专心2定义{an}为等差数列an+1-an=d（常数），n∈N+2an=an-1+an+1（n≥2，n∈N+）通项公式1）=+（n-1）d=+（n-k）d；=+-d2）推广：an=am+（n－m）d.3）变式：a1=an－（n－1）d，d=，d=，由此联想点列（n，an）所在直线的斜率.求和公式1）2）变式：===a1+（n－1）·=an+（n－1）·（－）.等差中项1）等差中项：若a、b、c成等差数列，则b称a与c的等差中项，且b=；a、b、c成等差数列是2b=a+c的充要条件.2）推广：2=重要性质1(反之不一定成立)；特别地,当时,有；特例：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…。2下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，…组成的数列仍为等差数列，公差为md.3成等差数列。45增减性其它性质1an=am+（n－m）d.2若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{λan+b}（λ、b为常数）是公差为λd的等差数列；若{bn}也是公差为d的等差数列，则{λ1an+λ2bn}（λ1、λ2为常数）也是等差数列且公差为λ1d+λ2d.3an=an+b，即an是n的一次型函数，系数a为等差数列的公差；Sn=an2+bn，即Sn是n的不含常数项的二次函数；三、典型例题分析题型1等差数列的基本运算用心爱心专心3例1在等差数列{an}中，(1)已知a15＝10，a45＝90，求a60；(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．解：(1)方法一：38382904410141145115dadaadaa∴a60＝a1＋59d＝130．方法23815451545aamnaadmn，an＝am＋(n－m)da60＝a45＋(60－45)d＝90＋15×38＝130．(2)不妨设Sn＝An2＋Bn，∴172460202084121222BABABA∴Sn＝2n2－17n∴S28＝2×282－17×28＝1092(3) S6＝S5＋a6＝5＋10＝15，又S6＝2)10(62)(6161aaa∴15＝2)10(61a即a1＝－5而d＝31616aa∴a8＝a6＋2d＝16S8＝442)(881aa变式训练1设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列{}的前n项和，求Tn.解：设等差数列{an}的公差为d，则Sn=na1+n（n－1）d. S7=7，S15=75，∴即解得a1=－2，d=1.∴=a1+（n－1）d=－2+（n－1）=.∴－=.∴数列{}是等差数列，其首项为－2，公差为.∴Tn=n2－n.小结与拓展：基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。等差数列中，已知五个元素a1，an，n，d，Sn中的任意三个，便可求出其余两个.题型2等差数列的判定与证明例2已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝5，S6＝36.求数列{an}的通项公式；用心爱心专心4解： 2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差数列，设{an}的首项为a1，公差为d，由a3＝5，S6＝36...