寻找二面角的平面角的方法二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点．对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法．我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型．一、根据平面角的定义找出二面角的平面角例1在的二面角的两个面内，分别有和两点．已知和到棱的距离分别为2和4，且线段，试求：（1）直线与棱所构成的角的正弦值；（2）直线与平面所构成的角的正弦值．分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出角在哪儿．如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半．根据题意，在平面内作；在平面内作，，连结、．可以证明，则由二面角的平面角的定义，可知为二面角的平面角．以下求解略．二、根据三垂线定理找出二面角的平面角例2如图，在平面内有一条直线与平面成，与棱成，求平面与平面的二面角的大小．分析：找二面角的平面角，可过作；平面，连结．由三垂线定理可证，则为二面角的平面角．总结：（1）如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足．应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角．（2）在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”，即“作”、“连结”、“证明”．三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角例3如图1，已知为内的一点，于点，于点，如果，试求二面角的平面角．第1页共4页图1图2分析：平面．因此只要把平面与平面、的交线画出来即可．证明为的平面角，（如图2）．注意：这种类型的题，如果过作，垂足为，连结，我们还必须证明，及为平面图形，这样做起来比较麻烦．例4已知斜三棱柱中，平面与平面构成的二面角的平面角为，平面与平面构成的二面角为．试求平面与平面构成的二面角的大小．分析：作三棱柱的直截面，可得△，其三个内角分别为斜三棱柱的三个侧面两两构成的二面角的平面角．总结：对棱柱而言，其直截面与各个侧棱的交点所形成的多边形的各个内角，分别为棱柱相邻侧面构成的二面角的平面角．四、平移平面法例5如图，正方体中，为的中点，为上的点，且．设正方体的棱长为，求平面与底面构成的锐角的正切．分析：本题中，仅仅知道二面角棱上的一点，在这种情况下，寻找二面角的平面角较困难．根据平面平移不改变它与另一个平面构成的角的大小的原理，如果能把二面角中的一个平面平移，找出辅助平面与另一个平面的交线，就可以作出二面角的平面角．有了平面角之后，只需要进行常规构造三角形和解三角形的计算，就可以解决问题了．如图，过点作与相交于点，过点作，与相交于点．可证平面平面．这样，求平面与平面的二面角的平面角就转化为求平面与平面的二面角的平面角．显然为这两个平面的交线，过点作，为垂足，连结，可证．则为本题要寻找的二面角．五、找垂面，作垂线第2页共4页例6如图，正方体中，为棱的中点，求平面和平面所构成的锐二面角的正切．分析：平面与二面角的一个面垂直，与另一个平面相交，过点作，垂足为，过作，交于点，连结，由三垂线定理可证，则为二面角的平面角．总结：当一个平面与二面角的一个平面垂直，与另一个平面相交时，往往过这个面上的一点作这两个垂直平面交线的垂线，再过垂足作二面角棱的垂线．根据三垂线定理即可证明，并找出二面角的平面角．再如图，要找所构成的二面角的平面角，可找平面，且，，过上任何一点作，垂足为，过作，垂足为，连结，可证为的平面角．六、根据特殊图形的性质找二面角的平面角1．三线合一例7如图，空间四边形中，，，，．试求二面角的余弦值．分析：如图1，，，则△和△为等腰三角形．过作，垂足为，连结．根据等腰三角形三线合一，且为中点，可证，则为二面角的平面角．2．全等三角形例8如图，已知空间四边形，，，，．试求的余弦值．分析：过作，垂足为，连结．根据已知条件，△和△全等，可证，则为二面角的平面角．3．二面角的棱蜕化成一点例9如图，四棱锥中，和与面垂直，△为正三角形．（1）若时，...
