力学量的算符表示VIP专享VIP免费

第三章力学量的算符表示1．如果算符ˆ、ˆ满足条件1ˆˆˆˆ，求证：ˆ2ˆˆˆˆ22，233ˆ3ˆˆˆˆ，1ˆˆˆˆˆnnnn[证]利用条件1ˆˆˆˆ，以ˆ左乘之得ˆˆˆˆˆˆ2则有ˆˆˆˆ)1ˆˆ(2最后得ˆ2ˆˆˆˆ22。再以ˆ左乘上式得222ˆ2)ˆˆˆˆ(ˆ，即232ˆ2ˆˆˆˆˆ则有233ˆ3ˆˆˆˆ最后得233ˆ3ˆˆ应用数学归纳法可以证明1ˆˆˆˆˆnnnn：先设211ˆ)1(ˆˆˆnnnn成立，以ˆ左乘上式得11ˆ)1(ˆˆˆˆˆnnnn则有11ˆ)1(ˆˆˆ)1ˆˆ(nnnn最后得1ˆˆˆˆˆnnnn2．证明)ˆˆˆ()ˆˆˆ(2121nnMMMLLL)ˆˆˆ()ˆˆˆ(1111MMMLLLmmnn[证]应用ABBAˆˆ)ˆˆ(及BABAˆˆ)ˆˆ(，则)ˆˆˆ(ˆˆ)ˆˆˆ(ˆ)ˆˆˆ(21112121nnnnnnLLLLLLLLLLLL121ˆˆˆˆLLLLnn同理可证1121ˆˆˆ)ˆˆˆ(MMMMMMmmm则)ˆˆˆ()ˆˆˆ()ˆˆˆ()ˆˆˆ(21212121mnmnMMMLLLMMMLLL)ˆˆˆ()ˆˆˆ(1111MMMLLLmmnn3．若算符Leˆ满足!ˆ!2ˆˆ12ˆnLLLenL，求证：))ˆ,ˆ(,ˆ(,ˆ(!31))ˆ,ˆ(,ˆ(!21)ˆ,ˆ(ˆˆˆˆaLLLaLLaLaeaeLL其中，LaaLaLˆˆˆˆ)ˆ,ˆ([证]方法一：把Leˆ直接展开，比较系数法。!ˆ)1(!2ˆˆ1!ˆ!2ˆˆ1ˆ22ˆˆnLLLanLLLeaennnLL33222ˆˆ!31ˆˆ!31)ˆˆˆ(!22ˆˆ!22ˆ!21ˆ!2ˆ)ˆˆˆˆ(ˆLaaLLaLLaLaaLLaaLaLaLLaLˆˆˆ!21ˆˆˆ!2122而LaaLaLˆˆˆˆ)ˆ,ˆ(LLaLaLLaLaLLLaaLLaLLˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ!21)ˆˆˆˆ(,ˆ!21)ˆ,ˆ(,ˆ!21LaLLaaLˆˆˆ!22ˆˆ!21ˆˆ!2122)ˆˆˆ2ˆˆˆˆ(,ˆ!31))ˆ,ˆ(ˆ(,ˆ!3122LaLLaaLLaLLLLaLLaLLaaLˆˆˆ!21ˆˆˆ!21ˆˆ!31ˆˆ!31233…………因此，把LLeaeˆˆˆ展开式的Lˆ的同次幂的系数合并之后，我们容易得到：)))ˆ,ˆ(,ˆ(ˆ(!31))ˆ,ˆ(,ˆ(!21)ˆ,ˆ(ˆˆˆˆaLLLaLLaLaeaeLL方法二：定义算符LSLSeaesaˆˆˆ)(ˆ其中S是辅助参数。则算符)(ˆsa对S的微商给出))(ˆ,ˆ(ˆˆˆˆ)(ˆˆˆˆsaLLeaeeaeLdssdaLSLSLSLS)))(ˆ,ˆ(,ˆ()(ˆ,ˆ)(ˆ22saLLdssadLdssad…………)))(ˆ,ˆ(,ˆ(,ˆ(ˆ()(ˆˆsaLLLLdssadLnnn个取1S，得LLeaeaˆˆˆ)1(ˆ将)1(ˆa展开为麦克劳林级数22)0(ˆ!21)0(ˆ)0(ˆ)1(ˆdsaddsadaa按定义，aaˆ)0(ˆ，所以我们最后得到)))ˆ,ˆ(,ˆ(,ˆ(!31))ˆ,ˆ(,ˆ(!21)ˆ,ˆ(ˆˆˆˆaLLLaLLaLaeaeLL4．如果GFˆ,ˆ都是厄密算符，但FGGFˆˆˆˆ，向：（1）FGGFˆˆˆˆ是否厄密算符？（2）)ˆˆˆ(FGGFi是否厄密算符？[解]利用厄密算符具有的性质CCˆˆ及ABBAˆˆ)ˆˆ(（1）令FGGFCˆˆˆˆ则)ˆˆˆˆ(ˆˆˆˆˆˆˆˆ)ˆˆ()ˆˆ(ˆFGGFGFFGGFFGFGGFC当GFGFˆˆˆˆ时，CCˆˆ，故FGGFˆˆˆˆ不是厄密算符。（2）因ii，故]ˆˆˆˆ[)]ˆˆˆˆ([)ˆˆˆˆ()]ˆˆˆˆ([FGGFiFGGFiFGGFiFGGFi因此)ˆˆˆˆ(FGGFi是厄密算符。例如，x和xpˆ都是厄密算符，且xppxxxˆˆ，所以)ˆˆ(xppxxx不是厄密算符，事实上ixppxxxˆˆ显然不可能是厄密的。但是在zxyyxLiLLLLˆˆˆˆˆ中，把它改写为zyxxyLLLLLiˆ)ˆˆˆˆ(，显然左方是厄密算符。5．如果GF...