【优化探究】2017届高考数学一轮复习第五章第五节数列的综合应用课时作业理新人教A版A组考点能力演练1．(2015·杭州二模)在正项等比数列{an}中，2为a4与a14的等比中项，则2a7＋a11的最小值为()A．16B．8C．6D．4解析：因为{an}是正项等比数列，且2为a4与a14的等比中项，所以a4a14＝8＝a7a11，则2a7＋a11＝2a7＋≥2＝8，当且仅当a7＝2时，等号成立，所以2a7＋a11的最小值为8，故选择B.答案：B2．(2016·宝鸡质检)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小的一份为()A.B.C.D.解析：由100个面包分给5个人，每个人所得成等差数列，可知中间一人得20块面包，设较大的两份为20＋d,20＋2d，较小的两份为20－d,20－2d，由已知条件可得(20＋20＋d＋20＋2d)＝20－d＋20－2d，解得d＝，∴最小的一份为20－2d＝20－2×＝，故选A.答案：A3．(2016·豫南十校联考)设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)．若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是()A.B.C.D.解析：在f(x)·f(y)＝f(x＋y)中令x＝n，y＝1，得f(n＋1)＝f(n)f(1)，又a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则an＋1＝an，所以数列{an}是首项和公比都是的等比数列，其前n项和Sn＝＝1－∈，故选择C.答案：C4．已知在等差数列{an}中，a1>0，d>0，前n项和为Sn，等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a4，前n项和为Tn，则()A．S4>T4B．S41，数列{bn}单调递增，又S4－T4＝a2＋a3－(b2＋b3)＝a1＋a4－a1q－＝a1(1－q)＋a4＝(a4－a1q)＝(b4－b2)>0，所以S4>T4.法二：不妨取an＝7n－4，则等比数列{bn}的公比q＝＝2，所以S4＝54，T4＝＝45，显然S4>T4，选A.答案：A5．正项等比数列{an}满足：a3＝a2＋2a1，若存在am，an，使得am·an＝16a，m，n∈N*，则＋的最小值为()A．2B．16C.D.解析：设数列{an}的公比为q，a3＝a2＋2a1⇒q2＝q＋2⇒q＝2，∴an＝a1·2n－1，am·an＝16a⇒a·2m＋n－2＝16a⇒m＋n＝6， m，n∈N*，∴(m，n)可取的数值组合为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，计算可得，当m＝2，n＝4时，＋取最小值.答案：C6．(2016·兰州双基)等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝________.解析：由题意，得(a1＋3×2)2＝(a1＋2)(a1＋7×2)，解得a1＝2，所以Sn＝2n＋×2＝n2＋n.答案：n2＋n7．(2015·高考湖南卷)设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.解析：由3S1,2S2，S3成等差数列，得4S2＝3S1＋S3，即3S2－3S1＝S3－S2，则3a2＝a3，得公比q＝3，所以an＝a1qn－1＝3n－1.答案：3n－18．从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.解析：设倒n次后纯酒精与总溶液的体积比为an，则an＝n，由题意知n<10%，∴n≥4.答案：49．已知f(x)＝2sinx，集合M＝{x||f(x)|＝2，x>0}，把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{an}，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝，设数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<.解：(1) |f(x)|＝2，∴x＝kπ＋，k∈Z，x＝2k＋1，k∈Z.又 x>0，∴an＝2n－1(n∈N*)．(2) bn＝＝＝<＝，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn<＝－<，∴Tn<得证．10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＝－2Sn·Sn－1(n≥2)．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)求证：S＋S＋…＋S≤－.解：(1) an＝－2Sn·Sn－1(n≥2)，∴Sn－Sn－1＝－2Sn·Sn－1.两边同除以Sn·Sn－1，得－＝2(n≥2)，∴数列是以＝＝2为首项，以d＝2为公差的等差数列，∴＝＋(n－1)·d＝2＋2(n－1)＝2n，∴Sn＝.将Sn＝代入an＝－2Sn·Sn－1，得an＝(2)证明： S＝<＝(n≥2)，S＝，∴当n≥2时，S＋S＋…＋S＝＋＋…＋<＋＋…＋＝－；当n＝1时，S＝＝－.综上，S＋S＋…＋S≤－.B组高考题型专练1．(2015·高考浙江卷)已知数列{an}...
