专题06导数与函数的零点等综合问题1.【2014全国1，文12】已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是()（B）（C）（D）【答案】C，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：和时函数单调递减;时函数单调递增，欲要使得函数有唯一的零点且为正，则满足：，即得：，可解得：，则．考点：1.函数的零点;2.导数在函数性质中的运用;3.分类讨论的运用【名师点睛】本题主要是考查函数的零点、导数在函数性质中的运用和分类讨论思想的运用，在研究函数的性质时要结合函数的单调性、奇偶性、零点、以及极值等函数的特征去研究，本题考查了考生的数形结合能力.2.【2014高考广东卷.文21】(本小题满分14分)已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)当时,试讨论是否存在,使得.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.【解析】(1),方程的判别式为,①当时,,则,此时在上是增函数；②当时,方程的两根分别为,,解不等式,解得或,解不等式,解得,此时,函数的单调递增区间为和,单调递减区间为；综上所述,当时,函数的单调递增区间为,当时,函数的单调递增区间为和,单调递减区间为；(2),若存在,使得,必须在上有解,,,方程的两根为,,,,依题意,,即,,即,又由得,故欲使满足题意的存在,则,所以,当时,存在唯一满足,当时,不存在满足.【考点定位】本题以三次函数为考查形式,考查利用导数求函数的单调区间,从中渗透了利用分类讨论的思想处理含参函数的单调区间问题,并考查了利用作差法求解不等式的问题,综合性强,属于难题.【名师点晴】本题主要考查的是函数的单调区间和函数与方程，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“单调区间”，否则很容易出现错误．利用导数求函数的单调区间的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间，令，解不等式得的范围就是递减区间．3.【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）已知函数．(I)讨论的单调性；(II)若有两个零点,求的取值范围.【答案】见解析(II)【解析】试题分析：(I)先求得再根据1,0,2a的大小进行分类确定的单调性；(II)借助第一问的结论,通过分类讨论函数单调性,确定零点个数,从而可得a的取值范围为.试题解析：(I)(i)设,则当时,；当时,.所以在单调递减,在单调递增.当时,,所以在单调递增,在单调递减.③若,则,故当时,,当时,,所以在单调递增,在单调递减.(II)(i)设,则由(I)知,在单调递减,在单调递增.又,取b满足b<0且,则,所以有两个零点.(ii)设a=0,则所以有一个零点.(iii)设a<0,若,则由(I)知,在单调递增.又当时,<0,故不存在两个零点；若,则由(I)知,在单调递减,在单调递增.又当时<0,故不存在两个零点.综上,a的取值范围为.考点：函数单调性,导数应用【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.4.【2015高考广东，文21】（本小题满分14分）设为实数，函数．（1）若，求的取值范围；（2）讨论的单调性；（3）当时，讨论在区间内的零点个数．【答案】（1）；（2）在上单调递增，在上单调递减；（3）当时，有一个零点；当时，有两个零点．由（2）得函数的最小值，再对的取值范围进行讨论确定在区间内的零点个数．试题解析：（1），因为，所以，当时，，显然成立；当，则有，所以.所以.综上所述，的取值范围是.（2）对于，其对称轴为，开口向上，所以在上单调递增；对于，其对称轴为，开口向上，所以在上单调递减.综上所述，在上单调递增，在上单调递减.（3）由（2）得在上单调递增，在上单调递减，所以.(i)当时，，令，即（）.因为在上单调递减，所以而在上单调递增，，所以与在无交点.当时，，即，所以，所以，因为，所以，即当时，有一个零点.(ii)当时，，当时，，，而在上单调递增，当时，.下面比较与的大小因为所以结合图象不难得当时，与有两个交点.综上所述，当时，有一个零点；当时，有两个零点.考点：1、绝对值不等式；2、函数的单调性；3、函数的最值；4、函数的零...
