(三)数列1．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且(t＋1)Sn＝a＋3an＋2(t∈R)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1－bn＝an＋1，求数列的前n项和Tn.解(1)因为a1＝S1＝1，且(t＋1)Sn＝a＋3an＋2，所以(t＋1)S1＝a＋3a1＋2，所以t＝5.所以6Sn＝a＋3an＋2.①当n≥2时，有6Sn－1＝a＋3an－1＋2，②①－②得6an＝a＋3an－a－3an－1，所以(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0，因为an>0，所以an－an－1＝3，又因为a1＝1，所以{an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，所以an＝3n－2(n∈N*)．(2)因为bn＋1－bn＝an＋1，b1＝1，所以bn－bn－1＝an(n≥2，n∈N*)，所以当n≥2时，bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝an＋an－1＋…＋a2＋b1＝.又b1＝1也适合上式，所以bn＝(n∈N*)．所以＝＝·＝·，所以Tn＝·＝·＝.2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3，，S4成等差数列，a5＝3a2＋2a1－2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2n－1，求数列的前n项和Tn.解(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S3，，S4成等差数列，可知S3＋S4＝S5，得2a1－d＝0，①由a5＝3a2＋2a1－2，②得4a1－d－2＝0，由①②，解得a1＝1，d＝2，因此，an＝2n－1(n∈N*)．(2)令cn＝＝(2n－1)n－1，则Tn＝c1＋c2＋…＋cn，∴Tn＝1·1＋3·＋5·2＋…＋(2n－1)·n－1，③Tn＝1·＋3·2＋5·3＋…＋(2n－1)·n，④③－④，得Tn＝1＋2－(2n－1)·n＝1＋2－(2n－1)·n＝3－，∴Tn＝6－(n∈N*)．3．已知等差数列{an}满足(n＋1)an＝2n2＋n＋k，k∈R.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.解(1)方法一由(n＋1)an＝2n2＋n＋k，令n＝1,2,3，得到a1＝，a2＝，a3＝，∵{an}是等差数列，∴2a2＝a1＋a3，即＝＋，解得k＝－1.由于(n＋1)an＝2n2＋n－1＝(2n－1)(n＋1)，又∵n＋1≠0，∴an＝2n－1(n∈N*)．方法二∵{an}是等差数列，设公差为d，则an＝a1＋d(n－1)＝dn＋(a1－d)，∴(n＋1)an＝(n＋1)(dn＋a1－d)＝dn2＋a1n＋a1－d，∴dn2＋a1n＋a1－d＝2n2＋n＋k对于任意n∈N*均成立，则解得k＝－1，∴an＝2n－1(n∈N*)．(2)由bn＝＝＝＝1＋＝1＋＝＋1，得Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋1＋＋1＋＋1＋…＋＋1＝＋n＝＋n＝＋n＝(n∈N*)．4．(2018·绍兴市柯桥区模拟)已知数列{an}满足：x1＝1，xn＝xn＋1＋－1，证明：当n∈N*时，(1)0xn－2xn＋1；(3)n≤xn≤n－1.证明(1)用数学归纳法证明xn>0，当n＝1时，x1＝1>0，假设xk>0，k∈N*，k≥1，成立，当n＝k＋1时，若xk＋1≤0，则xk＝xk＋1＋－1≤0，矛盾，故xk＋1>0，因此xn>0(n∈N*)，所以xn＝xn＋1＋－1>xn＋1＋e0－1＝xn＋1，综上，xn>xn＋1>0.(2)xn＋1xn＋2xn＋1－xn＝xn＋1(xn＋1＋－1)＋2xn＋1－xn＋1－＋1＝x＋(xn＋1－1)＋1，设f(x)＝x2＋ex(x－1)＋1(x≥0)，则f′(x)＝2x＋ex·x≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，因此f(x)≥f(0)＝0，因此x＋(xn＋1－1)＋1＝f(xn＋1)>f(0)＝0，故xnxn＋1>xn－2xn＋1.(3)由(2)得＋1<2，所以当n>1时，＋1<2<…<2n－1＝2n，当n＝1时，＋1＝2n，所以≤2n，即xn≥，又由于xn＝xn＋1＋－1≥xn＋1＋(xn＋1＋1)－1＝2xn＋1，xn＋1≤xn，所以易知xn≤，综上，n≤xn≤n－1.5．(2018·浙江省台州中学模拟)已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n＝1,2，….(1)求{an}的通项公式；(2)证明：对任意的x>0，an≥－·，n＝1,2，…；(3)证明：a1＋a2＋…＋an>.(1)解∵an＋1＝，∴－1＝，∴－1＝·＝，∴an＝(n∈N*)．(2)证明由(1)知an＝>0，－＝－＝－＝－·＋＝－2＋an≤an，∴原不等式成立．(3)证明由(2)知，对任意的x>0，有a1＋a2＋…an≥－＋－＋…＋－＝－，∴取x＝＝，则a1＋a2…＋an≥＝>，∴原不等式成立．6．已知在数列{an}中，满足a1＝，an＋1＝，记Sn为an的前n项和．(1)证明：an＋1>an；(2)证明：an＝cos；(3)证明：Sn>n－.证明(1)由题意知{an}的各项均为正数，因为2a－2a＝an＋1－2a＝(1－an)(1＋2an)．所以，要证an＋1>an，只需要证明an<1即可．下面用数学归纳法证明an<1.①当n＝1时，a1＝<1成立，②假设当n＝k时，ak<1成立，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝<＝1.综上所述，an<1成立，所以an＋1>an.(2)用数学归纳法证明an＝cos.①当n＝1时，a1＝＝cos成立，②假设当n＝k时，ak＝cos.那么当n＝k＋1时，ak＋1＝＝＝cos，综上所述，an＝cos.(3)由题意及(2)知，＝1－＝1－a＝1－cos2＝sin2<2(n≥2)，得an－1>1－(n≥2)，故当n＝1时，S1＝>1－；当n≥2时，Sn>∑＋＝n－－××>n－.综上所述，Sn>n－.
