考点规范练33基本不等式及其应用一、基础巩固1.下列不等式一定成立的是()A.lg(x2+14)>lgx(x>0)B.sinx+1sinx≥2(x≠kπ,k∈Z)C.x2+1≥2|x|(x∈R)D.1x2+1>1(x∈R)答案C解析因为x>0,所以x2+14≥2·x·12=x,所以lg(x2+14)≥lgx(x>0),故选项A不正确;当x≠kπ,k∈Z时,sinx的正负不定,故选项B不正确;由基本不等式可知选项C正确;当x=0时,1x2+1=1,故选项D不正确.2.已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+1a,n=a+1b,则m+n的最小值是()A.3B.4C.5D.6答案B解析由题意知ab=1,则m=b+1a=2b,n=a+1b=2a,故m+n=2(a+b)≥4❑√ab=4(当且仅当a=b=1时,等号成立).3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a
2ab2b=a,∴2a+b<1❑√ab,即2aba+b<❑√ab,∴a0,b>0)对称,则1a+4b的最小值为()A.8B.9C.16D.18答案B解析由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1.所以1a+4b=(1a+4b)(a+b)=5+ba+4ab≥5+4=9,当且仅当ba=4ab,即2a=b=23时等号成立,故选B.5.若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值是()A.43B.53C.2D.54答案C解析由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2×(2x)×(3y)+3xy(当且仅当2x=3y时等号成立),则12xy+3xy≤30,即xy≤2,故xy的最大值为2.6.若两个正实数x,y满足2x+1y=1,且x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-∞,-2)∪[4,+∞)B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.(-2,4)D.(-4,2)答案D解析因为x>0,y>0,2x+1y=1,所以x+2y=(x+2y)(2x+1y)=2+4yx+xy+2≥8,当且仅当4yx=xy,即x=2y时等号成立.由x+2y>m2+2m恒成立,可知m2+2m<8,即m2+2m-8<0,解得-41,b>1,若ax=by=3,a+b=2❑√3,则1x+1y的最大值为()A.2B.32C.1D.12答案C解析由ax=by=3,1x+1y=1loga3+1logb3=lga+lgblg3=lg(ab)lg3,又a>1,b>1,所以ab≤(a+b2)2=3,所以lg(ab)≤lg3,从而1x+1y≤lg3lg3=1,当且仅当a=b=❑√3时等号成立.8.已知x>1,则logx9+log27x的最小值是.答案2❑√63解析 x>1,∴logx9+log27x=2lg3lgx+lgx3lg3≥2❑√23=2❑√63,当且仅当x=3❑√6时等号成立.∴logx9+log27x的最小值为2❑√63.9.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*).则当每台机器运转年时,年平均利润最大,最大值是万元.答案58解析每台机器运转x年的年平均利润为yx=18-(x+25x),而x>0,所以yx≤18-2❑√25=8,当且仅当x=5时,年平均利润最大,最大值为8万元.10.(2018天津,文13)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为.答案14解析 a-3b+6=0,∴a-3b=-6. a,b∈R,∴2a>0,18b>0.∴2a+18b≥2❑√2a-3b=2❑√2-6=14,当且仅当2a=18b,即a=-3,b=1时取等号.11.某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价p+q2%,若p>q>0,则提价多的方案是.答案乙解析设原价为a,则方案甲提价后为a(1+p%)(1+q%),方案乙提价后为a(1+p+q2%)2.由于(1+p%)(1+q%)<[(1+p%)+(1+q%)2]2=(1+p+q2%)2,因此提价多的是方案乙.12.设a,b均为正实数,求证:1a2+1b2+ab≥2❑√2.证明因为a,b均为正实数,所以1a2+1b2≥2❑√1a2·1b2=2ab,当且仅当1a2=1b2,即a=b时,等号成立,又因为2ab+ab≥2❑√2ab·ab=2❑√2,当且仅当2ab=ab时,等号成立,所以1a2+1b2+ab≥2ab+ab≥2❑√2,当且仅当{1a2=1b2,2ab=ab,即a=b=4√2时,等号成立.二、能力提升13.已知不等式2x2-axy+y2≥0对任意x∈[1,2]及y∈[1,3]恒成立,则实数a的取值范围是()A.a≤2❑√2B.a≥2❑√2C.a≤113D.a≤92答案A解析因为2x2-axy+y2≥0,且y≠0,所以2(xy)2-axy+1≥0.令t=xy,则不等式变为2t2-at+1≥0.由x∈[1,2],y∈[1,3],可知t∈[13,2],即2t2-at+1≥0在t∈[13,2]时恒成立.由2t2-at+1≥0可得a≤2t2+1t,即a≤2t+1t.又2t+1t≥2❑√2t·1t=2❑√2.当且仅当2t=1t,即t=❑√22时等号成立,所以2t+1t取得最小值2❑√2,所以有a≤2❑√2,故选A.14.已知不等式|y+4|-|y|≤2x+a2x对任意实数...
