用空间向量证明平行与垂直徐加生在高中数学教材第二册下（B）中引入了空间向量，用向量知识来研究空间问题是教材的主题思想，使我们解决立体几何问题有了新理念、新方法。下面举例谈谈用空间向量证明空间线面平行与垂直问题。一.证明线与线垂直例1.在正三棱柱中，已知，如图1，求证：。图1证明：设，则则由得即而故二.证明线与面垂直通过证线线垂直，得到线面垂直。例2.如图2，直三棱柱中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角形，AC=2，，D为的中点，在线段上取一点F，试确定F的位置，使。图2解：建立如图所示的直角坐标系B—xyz，设AF=x，则，所以用心爱心专心115号编辑1欲使CF⊥平面B1DF，只须CF⊥B1F且CF⊥B1D即且所以或x=2，即F分别为的两个三等分点。三.证明面与面垂直当且仅当两个平面的法向量互相垂直时，两平面垂直也可由线面垂直，得到面与面垂直。例3.如图3，已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=a，AD=，M、N分别是AD、PB的中点，求证：平面MNC⊥平面PBC。图3证明：方法1：建立如图3所示的直角坐标系D—xyz则所以设平面PBC的法向量则且所以解得所以同理可求平面MNC的一个法向量，而所以，故平面PBC⊥平面MNC方法2：同方法1可得而，且所以MN⊥BC且MN⊥PB即MN⊥平面PBC又平面MNC故平面PBC⊥平面MNC四.证明线与面平行即证平面法向量与直线方向向量垂直，或利用向量共面的充要条件，即：向量与两个不共线的向量共面存在实数x,y，使成立。例4.如图4，已知是正三棱柱，D为AC中点，（1）证明平面DBC；（2）假设，求以为棱，DBC与为面的二面角的度数。用心爱心专心115号编辑2图4证明：建立如图4所示的空间直角坐标系O—xyz（O为BC中点）设BC=2a，则易知，（1）方法1：所以设平面的法向量为则且即由于所以即平面方法2：由于则有所以共面，又点A不在平面内，所以AB1//平面DBC1（2）若，即所以则又易知面的法向量所以即为所求五.证明面与面平行若二平面的法向量相同，则两平面平行。例5.如图5，在正方体中，M、N分别是棱、的中点，E、F分别是棱、的中点，证明：（1）E、F、B、D共面；（2）平面AMN//平面BDFE。用心爱心专心115号编辑3图5证明：建立如图5所示的空间直角坐标系D—xyz，不妨设正方体的棱长为2，则A（2，0，0）、M（2，1，2）、N（1，0，2）、B（2，2，0）、E（1，2，2）、F（0，1，2）。（1）所以所以故E、F、B、D四点共面。（2）设为平面BDEF的法向量，由向量垂直的充要条件得且而且所以且即也是平面AMN的法向量则有平面AMN//平面BDEF。用心爱心专心115号编辑4
