【优化探究】2016高考数学一轮复习4-1平面向量的概念及线性运算课时作业文一、选择题1.如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么EF＝()A.AB－ADB.AB＋ADC.AB＋DAD.AB－AD解析：在△CEF中，EF＝EC＋CF.因为点E为DC的中点，所以EC＝DC.因为点F为BC的一个三等分点，所以CF＝CB.所以EF＝DC＋CB＝AB＋DA＝AB－AD，故选D.答案：D2．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：由c∥d，则存在λ使c＝λd，即ka＋b＝λa－λb，∴(k－λ)a＋(λ＋1)b＝0，又a与b不共线，∴k－λ＝0，且λ＋1＝0，∴k＝－1，此时c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d.故c与d反向，选D.答案：D3．已知△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，CD＝rAB＋sAC，则r＋s的值是()A.B.C．－3D．0解析：CD＝AD－AC，DB＝AB－AD，∴CD＝AB－DB－AC＝AB－CD－AC∴CD＝AB－AC，∴CD＝AB－AC，又CD＝rAB＋sAC，∴r＝，s＝－，∴r＋s＝0，故选D.答案：D4．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC＋CB＝0，则OC等于()A．2OA－OBB．－OA＋2OBC.OA－OBD．－OA＋OB解析：OC＝OB＋BC＝OB＋2AC＝OB＋2(OC－OA)，∴OC＝2OA－OB，故选A.答案：A5.如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，AB＝a，AC＝b，则AD＝(1)A．a－bB.a－bC．a＋bD.a＋b解析：连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD＝AB＝a，所以AD＝AC＋CD＝b＋a.答案：D二、填空题6．若|AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝2，则|AB＋AC|＝________.解析： |AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝|CB|＝2，∴△ABC是边长为2的正三角形，|AB＋AC|为三角形高的2倍，所以|AB＋AC|＝2.答案：27．(2015年东城综合练习)设a，b，c是单位向量，且a＝b＋c，则向量a，b的夹角等于________．解析：不妨设a＝OA，b＝OB，c＝OC，由a＝b＋c可知，OA＝OB＋OC，又|OA|＝|OB|＝|OC|＝1，故四边形OBAC为菱形，且∠BOA＝60°，故向量a，b的夹角为60°.答案：608．(2014年石家庄一模)若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状为________．解析：OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－AC，∴|AB＋AC|＝|AB－AC|，故A、B、C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．答案：直角三角形三、解答题9.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE＝AD，AB＝a，AC＝b.(1)用a，b表示向量AD，AE，AF，BE，BF；(2)求证：B，E，F三点共线．解析：(1)延长AD到G，使AD＝AG，连接BG，CG，得到▱ABGC，所以AG＝a＋b，AD＝AG＝(a＋b)，2AE＝AD＝(a＋b)，AF＝AC＝b，BE＝AE－AB＝(a＋b)－a＝(b－2a)，BF＝AF－AB＝b－a＝(b－2a)．(2)证明：由(1)可知BE＝BF，又BE与BF有公共点B，所以B，E，F三点共线．10．若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？解析：设OA＝a，OB＝tb，OC＝(a＋b)，∴AC＝OC－OA＝－a＋b，AB＝OB－OA＝tb－a.要使A，B，C三点共线，只需AC＝λAB，即－a＋b＝λtb－λa，∴∴∴当t＝时，三向量终点在同一直线上．B组高考题型专练1．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ的值为()A．1B．－1C.D．－解析：由题意知a＋λb＝－k(b－3a)＝－kb＋3ka，∴解得答案：D2.(2015年烟台高三诊断)如图，O为线段A0A2013外一点，若A0，A1，A2，A3，…，A2013中任意相邻两点的距离相等，OA0＝a，OA2013＝b，用a，b表示OA0＋OA1＋OA2＋…＋OA2013，其结果为()A．1006(a＋b)B．1007(a＋b)C．2012(a＋b)D．2014(a＋b)解析：OA0＋OA2＝2OA1，OA3＋OA5＝2OA4，…，OA2011＋OA2013＝2OA2012，OA0＋OA1＋OA2＋…＋OA2013＝＝1007(a＋b)．选B.答案：B3．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，重心为G，若aGA＋bGB＋cGC＝0，则A＝________.解析：由G为△ABC的重心知GA＋GB＋GC＝0，则GC＝－GA－GB，因此aGA＋bGB＋c(－GA－GB)＝GA＋GB＝0，又GA，GB不共线，所以a－c＝b－c＝0，即a＝b＝c.由余弦定理得cosA＝＝＝，又0
